質問<3353>2006/8/31
半径がaの底面を持つ二つの直円柱の軸が直交するとき、両方に共通な部分の体積 を求めよ。 という問題が解けません。 数Ⅲの積分の問題で出てきたので、そこまで複雑なものは利用しないと思うのですが… よろしくお願いします。 ★完全解答希望★
お便り2006/8/31
from=μG
数Ⅲの範囲を逸脱した解答かもしれませんが… 直交する2つの直円柱を x^2+y^2=a^2 …①, x^2+z^2=a^2 …② とする。平面x=0, y=0, z=0(すなわちyz平面、xz平面、xy平面)の それぞれに関して対称であるので、 x≧0, y≧0, z≧0 について体積を求め、8倍する。 ①よりy=√(a^2-x^2), ②より、z=√(a^2-x^2) |V|=8∫∫ z dxdy D:0≦x≦a, 0≦y≦√(a^2-x^2) D a √(a^2-x^2) =8∫ dx ∫ √(a^2-x^2) dy 0 0 a √(a^2-x^2) =8∫ √(a^2-x^2)[y] dx 0 0 a =8∫ (a^2-x^2) dx 0 a =8[a^2*x - (x^3)/3] 0 =8{a^3 - (a^3)/3} =8*2/3*a^3 = (16a^3)/3