質問＜３３５３＞２００６／８／３１
from=pekorin
「積分で体積を求める問題」

半径がaの底面を持つ二つの直円柱の軸が直交するとき、両方に共通な部分の体積
を求めよ。
という問題が解けません。
数Ⅲの積分の問題で出てきたので、そこまで複雑なものは利用しないと思うのですが…
よろしくお願いします。

★完全解答希望★

お便り２００６／８／３１
from=μG

数Ⅲの範囲を逸脱した解答かもしれませんが…

直交する2つの直円柱を
x^2+y^2=a^2　…①,　x^2+z^2=a^2　…②
とする。平面x=0, y=0, z=0(すなわちyz平面、xz平面、xy平面)の
それぞれに関して対称であるので、
x≧0, y≧0, z≧0　について体積を求め、8倍する。
①よりy=√(a^2-x^2),　②より、z=√(a^2-x^2)

|V|=8∫∫ z dxdy	D:0≦x≦a, 0≦y≦√(a^2-x^2)
        D

      a     √(a^2-x^2)
   =8∫ dx ∫          √(a^2-x^2) dy 
      0     0

      a               √(a^2-x^2)
   =8∫ √(a^2-x^2)[y]            dx 
      0               0

      a
   =8∫ (a^2-x^2) dx 
      0

                      a
   =8[a^2*x - (x^3)/3]
                      0

   =8{a^3 - (a^3)/3}
   =8*2/3*a^3 = (16a^3)/3