質問＜３３５５＞２００６／９／１
from=けぃ
「連立方程式」

初めて利用させてもらいます。
よろしくお願いします。

x+y+z=5, 3x+y-z=-15を満たす任意のx,y,zに対して
常にax二乗+by二乗＋cz二乗=5二乗が成り立つ時
定数a,b,cの値を求めよ。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／２
from=KINO

以下では x の 2乗を表すのに x^2 という記法を用います。

z=5-x-y を 3x+y-z=-15 に代入して，3x+y=-15+5-x-y=-10-x-y 4x+2y=-10 より 2x+y=-5.
よって，y=-5x-2.
したがって，t を任意の実数として，
x=t, y=-2t-5, z=t+10 がこの連立方程式の任意の解。
よって，
ax^2+by^2+cz^2=at^2+b(2t+5)^2+c(t+10)^2=(a+4b+c)t^2+20(b+c)t+(25b+100c).
これが t の値によらずに常に 25 に等しいための必要十分条件は，
t^2 の係数が 0 であることから，a+4b+c=0,
t の係数が 0 であることから，b+c=0,
定数項について 25b+100c=25，すなわち b+4c=1.
この連立方程式を解くと a=1，b=-1/3，c=1/3.

お便り２００６／９／２
from=μG

z = kとすると
　{ x+y+k=5
　{ 3x+y-k=-15
これを解いてx = k-10, y = -2k+15, z = k

これをax^2+by^2＋cz^2=5^2に代入して
　a(k-10)^2+b(-2k+15)^2＋ck^2=25
　a(k^2-20k+100)+b(4k^2-60k+225)+ck^2=25
　(a+4b+c)k^2+(-20a-60b)k+100a+225b=25
kの値によらず常に成り立つためには
　{a+4b+c=0
　{-20a-60b=0
　{100a+225b=25
これを解いてa = 1, b = -1/3, c = 1/3