質問＜３３６２＞２００６／９／４
from=あい
「積分」

lim(n→∞)∑(k=1,n) k/(n^2+k^2)を教えてください。
n/(n^2+k^2)ではありませんので。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／５
from=UnderBird

お便り２００６／９／５
from=KINO

k/(n^2+k^2)=(k/n)*[1/({+(k/n)^2}]*(1/n)
なので，n→∞ の極限において
∑(k=1,n) は ∫[0→1] に，
k/n は x に，
1/n は dx に
それぞれおきかわるので，
lim(n→∞)∑(k=1,n) k/(n^2+k^2)=∫[0→1]{x/(1+x^2)}dx
x/(1+x^2) の不定積分のひとつは (1/2)*(log(1+x^2)) ですから，
答えは (1/2)*log2.

お便り２００６／９／５
from=wakky

お便り２００６／９／５
from=juin

Σk/(n^2+k^2)=(1/n)Σk/(n+k^2/n)
=(1/n)Σ1/{(n/k)+(k/n)}
=∫dx/{(1/x)+x)}=∫[x/(1+x^2)]dx
=[(1/2)log(1+x^2)]
=(1/2){log(1+1)-log(1+0)]
=(1/2)log2