質問<3362>2006/9/4
lim(n→∞)∑(k=1,n) k/(n^2+k^2)を教えてください。 n/(n^2+k^2)ではありませんので。 ★完全解答希望★
お便り2006/9/5
from=UnderBird
お便り2006/9/5
from=KINO
k/(n^2+k^2)=(k/n)*[1/({+(k/n)^2}]*(1/n) なので,n→∞ の極限において ∑(k=1,n) は ∫[0→1] に, k/n は x に, 1/n は dx に それぞれおきかわるので, lim(n→∞)∑(k=1,n) k/(n^2+k^2)=∫[0→1]{x/(1+x^2)}dx x/(1+x^2) の不定積分のひとつは (1/2)*(log(1+x^2)) ですから, 答えは (1/2)*log2.
お便り2006/9/5
from=wakky
お便り2006/9/5
from=juin
Σk/(n^2+k^2)=(1/n)Σk/(n+k^2/n) =(1/n)Σ1/{(n/k)+(k/n)} =∫dx/{(1/x)+x)}=∫[x/(1+x^2)]dx =[(1/2)log(1+x^2)] =(1/2){log(1+1)-log(1+0)] =(1/2)log2