質問＜３３７４＞２００６／９／１２
from=３の男
「２次関数」

xの２次関数f(x)=x^2-2ax+2a^2-4があり、y=f(x)のグラフはx軸と異なる２点で交わる。
ただし、aは定数である。

(1)y=f(x)のグラフの頂点の座標を求めよ。また、aの値の範囲を求めよ。

(2)方程式f(x)=0の2つの解のうち一方だけが2＜x＜3の範囲にあるようなaの値の
範囲を求めよ。

(3)不等式f(x)＜0を満たすxの整数値が4つ存在し、それらがすべてx＞-2の範囲
にあるときのaの値の範囲を求めよ。

(1)は(a,a^2-4),-2＜a＜2で求まりました。
(2)は0＜a＜2で求まりました。

(3)が解りません。

条件
異なる２つの実数解を持つので、a^2-4＜0
x=-2で正であるので、f(-2)＞0
頂点が-2より大きいことから、a＞-2
は解るのですが、「f(x)＜0を満たすxの整数値が4つ存在」の条件付けができません。

ご指導よろしくお願いします。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／２０
from=主夫

(3)不等式f(x)＜0を満たすxの整数値が4つ存在し、それらがすべてx＞-2の範囲
にあるときのaの値の範囲を求めよ。

題意を満たすようなxは，-1,0,1,2しか有り得ません。
なぜならaが実数解を持つためには，
f(x)=x^2-2ax+2a^2-4  をaの２次方程式と捉えたとき，
f(a)=2a^2-2xa+x^2-4=0 の判別式
D/4=x^2-2(x^2-4)＞0 より，
-2√2＜x＜2√2 となり，
これを満たす整数値xは，-2,-1,0,1,2 となるが，
x＞-2の条件とあわせると，-1,0,1,2となります。

したがって，
f(-2)＞0 かつ f(-1)＜0 かつ f(2)＜0 かつ f(3)＞0 (最後の条件は自明)
を解けばよい。
f(-2)＞0より
f(-2)=4+4a+2a^2-4＞0
a＜-2,0＜a …①

f(-1)＜0より
f(-1)=1+2a+2a^2-4＜0
(-1-√7)/2＜a＜(-1+√7)/2 …②

f(2)=4-4a+2a^2-4＜0
0＜a＜2 …③

①②③を同時に満たすのは，
0＜a＜(-1+√7)/2