質問<3374>2006/9/12
xの2次関数f(x)=x^2-2ax+2a^2-4があり、y=f(x)のグラフはx軸と異なる2点で交わる。 ただし、aは定数である。 (1)y=f(x)のグラフの頂点の座標を求めよ。また、aの値の範囲を求めよ。 (2)方程式f(x)=0の2つの解のうち一方だけが2<x<3の範囲にあるようなaの値の 範囲を求めよ。 (3)不等式f(x)<0を満たすxの整数値が4つ存在し、それらがすべてx>-2の範囲 にあるときのaの値の範囲を求めよ。 (1)は(a,a^2-4),-2<a<2で求まりました。 (2)は0<a<2で求まりました。 (3)が解りません。 条件 異なる2つの実数解を持つので、a^2-4<0 x=-2で正であるので、f(-2)>0 頂点が-2より大きいことから、a>-2 は解るのですが、「f(x)<0を満たすxの整数値が4つ存在」の条件付けができません。 ご指導よろしくお願いします。 ★完全解答希望★
お便り2006/9/20
from=主夫
(3)不等式f(x)<0を満たすxの整数値が4つ存在し、それらがすべてx>-2の範囲 にあるときのaの値の範囲を求めよ。 題意を満たすようなxは,-1,0,1,2しか有り得ません。 なぜならaが実数解を持つためには, f(x)=x^2-2ax+2a^2-4 をaの2次方程式と捉えたとき, f(a)=2a^2-2xa+x^2-4=0 の判別式 D/4=x^2-2(x^2-4)>0 より, -2√2<x<2√2 となり, これを満たす整数値xは,-2,-1,0,1,2 となるが, x>-2の条件とあわせると,-1,0,1,2となります。 したがって, f(-2)>0 かつ f(-1)<0 かつ f(2)<0 かつ f(3)>0 (最後の条件は自明) を解けばよい。 f(-2)>0より f(-2)=4+4a+2a^2-4>0 a<-2,0<a …① f(-1)<0より f(-1)=1+2a+2a^2-4<0 (-1-√7)/2<a<(-1+√7)/2 …② f(2)=4-4a+2a^2-4<0 0<a<2 …③ ①②③を同時に満たすのは, 0<a<(-1+√7)/2