質問＜３３７８＞２００６／９／１２
from=あーあ
「不等式」

次の問題を教えて下さい。

次の不等式を解け。
①｜ｘ＾2-2ｘ-5｜＜3
②｜ｘ＾2-8｜+2ｘ＜0
③√（2ｘ+3）＞ｘ+1

★完全解答希望★

お便り２００６／９／１７
from=KK

1. 
※|x|＜k ＜==＞ -k＜x＜k
|x^2-2x-5|＜3 すなわち -3＜x^2-2x-5＜3
(答えは、-3＜x^2-2x-5 と x^2-2x-5＜3 の共通部分になります)
i) -3＜x^2-2x-5 のとき x^2-2x-2＞0
  x＜1-√3、1+√3＜x ...(1)
ii) x^2-2x-5＜3 のとき x^2-2x-8＜0
  -2＜x＜4 ...(2)
(1)(2)より、-2＜x＜1-√3、1+√3＜x＜4 ...(答)

2. 絶対値の中が負か0以上で場合分け
i) x^2-8≧0 すなわち x≦-2√2、2√2≦x ...(1) のとき
|x^2-8|＝x^2-8 なので
|x^2-8|+2x＝x^2-8+2x＜0
これを解いて、-4＜x＜2 ...(2)
(1)(2)より、-4＜x≦-2√2 ...(A)
ii) x^2-8＜0 すなわち -2√2＜x＜2√2 ...(3) のとき
|x^2-8x|＝-(x^2-8) なので
|x^2-8|+2x＝-x^2+8+2x＜0
これを解いて、x＜-2、4＜x ...(4)
(3)(4)より、-2√2＜x＜-2 ...(B)

(A)(B)より、-4≦x＜-2 ...(答)

3. √(2x+3)＞x+1 ...(※)
[A] ルートの中は負にならない(←最低限必要)
[B1] 右辺が負ならば無条件で成り立つ
[B2] 右辺が負でなければ両辺を2乗して比較する
(ルートの中は負にはならないので)
2x+3≧0 すなわち -3/2≦x ...(A)

i) x+1＜0 すなわち x＜-1 ...(1) のとき
√(2x+3)≧0 なので(※)は常に成り立つ
(A)とより、-3/2≦x＜-1 ...(B1)
ii) x+1≧0 すなわち -1≦x ...(2) のとき
両辺ともに0以上なので、両辺を2乗して
(↑記述式の場合、これを書かないと減点になります)
2x+3＞(x+1)^2
これを解いて、-√2≦x≦√2 ...(3)
(2)(3)より、-1≦x≦√2 ...(B2)

(B1)(B2)より、-3/2≦x≦√2 ...(答)