質問

次の問いに答えて下さい。
①2正数a＞0、ｂ＞0に対し、a+ｂ/2＞＝√a*bが成り立つことを示せ。
また統合が成り立つための必要十分条件を求めよ。

②３正数a＞0、ｂ＞0、ｃ＞0に対し、（a+ｂ+ｃ）/3＞＝a*b*c＾1/3が
成り立つことを示せ。また等号が成り立つための必要十分条件を求めよ。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／２０
from=wakky

①
ａ＋ｂ－２√ａｂ＝（√ａ－√ｂ）^2≧０

②
　ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3－３ｘｙｚ
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ）
＝（１／２）（ｘ＋ｙ＋ｚ）｛（ｘ－ｙ）^2＋（ｙ－ｚ）^2＋（ｚ－ｘ）^2｝
≧０
ｘ＝ａ^(1/3)，ｙ＝ｂ^(1/3)，ｚ＝ｃ^(1/3)
とおけば、題意は示される。

等号は、ａ＝ｂ（＝ｃ）のときに成り立つ。

お便り２００６／９／２０
from=主夫

相加平均　相乗平均　などで検索してみてください。