質問＜３３８９＞２００６／９／１７
from=まーや
「正方行列」

正方行列Ａに対してＡＸ＝ＸＡ＝Ｅ（Ｅは単位行列）をみたす行列Ｘが存在するとき、
Ａは正則であるという。またＸをＡの逆行列といいＡ^-1で表す。このとき、
次の問いに答えよ。
①Ａが正則のとき、逆行列は一意に定まることを示　　せ。
②Ａ，Ｂが正則のとき、ＡＢも正則で（ＡＢ）^-1＝Ｂ^-1Ａ^-1であることを示せ。
以上の問いについて答えに至る過程を詳しく教えて下さい。

★完全解答希望★

お便り２００６／９／１９
from=KINO

(1) 行列 X, Y が AX=XA=E, AY=YA=E を満たすとする。
このとき，X=EX=(YA)X=Y(AX)=YE=Y より，X=Y である。
これは逆行列は一意的に定まることを意味している。

(2) A, B が正則であるとき，A^(-1), B^(-1) が存在する。
(AB)(B^(-1)A^(-1))=A(BB^(-1))A^(-1)=AEA^(-1)=AA^(-1)=E,
(B^(-1)A^(-1))(AB)=B^(-1)(A^(-1)A)B=B^(-1)B=E
であるから，AB は正則であり，逆行列の一意性から (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

お便り２００６／９／１９
from=UnderBird

①Ａの逆行列がX,Yであるとする。
すなわち、AX=XA=E,AY=YA=E
このとき、X=XE=X(AY)=(XA)Y=EY=Yであるから、
逆行列は一意に定まる。

②AB(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E
  (B^-1A^-1)AB=B^-1(A^-1A)B=B^-1EB=B^-1B=E
よって、ＡＢも正則でその逆行列は、B^-1A^-1である。