質問＜３３９５＞２００６／９／１８
from=小豆
「証明」

いつもお世話になっています。以下の不等式の証明を教えて下さい。

１＋logx+1/2√x＞０　(ｘ＞０)

微分して単調増加を示すのでしょうか？

★完全解答希望★

お便り２００６／９／１９
from=wakky

＜質問２０７２＞を見てください。

お便り２００６／９／２０
from=主夫

ご賢察の通り，f(x)=1+logx+1/(2√x)　とおいて，微分します。

f'(x)
=1/x-(1/4)*x^(-3/2)
=(4√x-1)/4x√x

f'(x)=0のとき，x=1/4 に注意して増減表を書きます。(x＞0)
x=1/4　のときにf(x)は極小値かつ最小値を取ることが分かります。

f(1/4)=2-log4＞0 より，
f(x)=1+logx+1/(2√x)＞0 であることが証明されました。

お便り２００６／９／２１
from=主夫

f'(x)=0のとき，x=1/4 に注意して増減表を書きます。(x＞0)
x=1/4　のときにf(x)は極小値かつ最小値を取ることが分かります。

x=1/4　は誤りで，質問２０７２の解答の通り，x=1/16　が正しい値です。
流れとしては前記の質問に対する解答と同様です。失礼しました。