質問<341>2000/10/17
1 f(x)=lim ―{(e^x+h)^2+(e^x)^2}とするとき、 h→0 h 次の問いに答えよ。 (1)f(x)を求めよ 1 x+h (2)g(x)=lim ―∫ f(t)dtを求めよ。 h→0 h x (3)k(x)=2g(x)+e^(-x)とするとき、 k(x)の最小値および最小値を与えるxの値を求めよ。 ちなみに答えは、 (1)f(x)=2e^2x (2)g(x)=2e^2x (3)x=-log2のとき最小値3 なのですが途中のやり方がわからないので教えてください。 最近寒くなってきましたが風邪をひかぬようお気を付けください。
お返事2000/10/19
from=武田
1 f(x)=lim ―{(ex+h)2 +(ex)2 }とするとき、 h→0 h 問題のf(x)はどう変形しても、答えのf(x)=2e2xになら なかったが、符号をマイナスにしたらできたので、問題の間違いではな いでしょうか? 以下、マイナスとして解いていきます。 問1 1 f(x)=lim ―{(ex+h)2 -(ex)2 }とするとき、 h→0 h 1 =lim ―(e2x+2h-e2x) h→0 h 1 =e2x・lim ─(e2h-1) h→0 h 2 =e2x・lim ──(e2h-1) 2h→0 2h =2e2x ……(答) 使われた公式は 1 lim ─(eh-1)=1 h→0 h です。 問2 1 x+h g(x)=lim ―∫ f(t)dt h→0 h x 1 x+h =lim ―∫ 2e2tdt h→0 h x 2t=yとおくと、2dt=dy t| x→ x+h ────────── y|2x→2x+2h 1 2x+2h g(x)=lim ―∫ eydy h→0 h 2x 1 2x+2h =lim ─ [ey] h→0 h 2x 1 =lim ―(e2x+2h-e2x) h→0 h =f(x)=2e2x ……(答) 問3k(x)=2g(x)+e-x =2・2e2x+e-x k′(x)=4・2・e2x-e-x =8e2x-e-x k′(x)=0より、 8e2x-e-x=0 両辺にexをかけて 8e3x-e0=0 8e3x-1=0 1 1 e3x=─=(─)3 8 2 1 ex=── 2 したがって、 1 x=loge──=-loge2=-ln2 2 増減表を作って、 x | ……… | -ln2 | ……… ──────────────────────── k′(x)| - | 0 | + ──────────────────────── k(x) | 減 少 | 極小・最小| 増 加 k(-ln2)=4e-2ln2+eln2 =4eln(1/4)+eln2 =4・(1/4)+2 =1+2 =3 ∴x=-ln2のとき、最小値3 ……(答)