質問＜３４１＞２０００／１０／１７
from=正人
「積分法とその応用」

　　　　　　　　　１　　　
ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ　―｛（ｅ＾ｘ+ｈ）＾２＋（ｅ＾ｘ）＾２｝とするとき、
　　　　　ｈ→０　ｈ
次の問いに答えよ。

（１）ｆ（ｘ）を求めよ
　　　　　　　　　　　　１　ｘ+h
（２）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍ　―∫　　ｆ（ｔ）ｄｔを求めよ。
　　　　　　　　ｈ→０　ｈ　ｘ
 
（３）ｋ（ｘ）＝２ｇ（ｘ）＋ｅ＾（-ｘ）とするとき、
　　　ｋ（ｘ）の最小値および最小値を与えるｘの値を求めよ。
 
ちなみに答えは、
（１）ｆ（ｘ）＝２ｅ＾２ｘ
（２）ｇ（ｘ）＝２ｅ＾２ｘ
（３）ｘ＝－log２のとき最小値３　　
なのですが途中のやり方がわからないので教えてください。
最近寒くなってきましたが風邪をひかぬようお気を付けください。

お返事２０００／１０／１９
from=武田

　　　　　　　　　１　　　
ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ　―｛（ｅx+h）2 ＋（ｅx）2 ｝とするとき、
　　　　　ｈ→０　ｈ
問題のｆ（ｘ）はどう変形しても、答えのｆ（ｘ）＝２ｅ2xになら
なかったが、符号をマイナスにしたらできたので、問題の間違いではな
いでしょうか？
以下、マイナスとして解いていきます。

問１
　　　　　　　　　１
ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ　―｛（ｅx+h）2 －（ｅx）2 ｝とするとき、
　　　　　ｈ→０　ｈ

　　　　　　　　　１
　　　　＝ｌｉｍ　―（ｅ2x+2h－ｅ2x）
　　　　　ｈ→０　ｈ

　　　　　　　　　　　　１
　　　　＝ｅ2x・ｌｉｍ　─（ｅ2h－１）
　　　　　　　　ｈ→０　ｈ

　　　　　　　　　　　　　２
　　　　＝ｅ2x・ｌｉｍ　──（ｅ2h－１）
　　　　　　　　2h→０　２ｈ

　　　　＝２ｅ2x　……（答）

使われた公式は　　　　　１
　　　　　　　　ｌｉｍ　─（ｅh－１）＝１
　　　　　　　　ｈ→０　ｈ
です。

問２
　　　　　　　　　１　ｘ+h
ｇ（ｘ）＝ｌｉｍ　―∫　　ｆ（ｔ）ｄｔ
　　　　　ｈ→０　ｈ　ｘ

　　　　　　　　　１　ｘ+h
　　　　＝ｌｉｍ　―∫　　２ｅ2tｄｔ
　　　　　ｈ→０　ｈ　ｘ

２ｔ＝ｙとおくと、２ｄｔ＝ｄｙ
ｔ｜　ｘ→　ｘ＋ｈ
──────────
ｙ｜２ｘ→２ｘ＋２ｈ

　　　　　　　　　１　2x+2h
ｇ（ｘ）＝ｌｉｍ　―∫　　ｅyｄｙ
　　　　　ｈ→０　ｈ　2x

　　　　　　　　　１　　　　2x+2h
　　　　＝ｌｉｍ　─　［ｅy］
　　　　　ｈ→０　ｈ　　　　2x

　　　　　　　　　１
　　　　＝ｌｉｍ　―（ｅ2x+2h－ｅ2x）
　　　　　ｈ→０　ｈ

　　　　＝ｆ（ｘ）＝２ｅ2x　……（答）

問３ｋ（ｘ）＝２ｇ（ｘ）＋ｅ-x
　　　　＝２・２ｅ2x＋ｅ-x
ｋ′（ｘ）＝４・２・ｅ2x－ｅ-x
　　　　　＝８ｅ2x－ｅ-x
ｋ′（ｘ）＝０より、
８ｅ2x－ｅ-x＝０
両辺にｅxをかけて
８ｅ3x－ｅ0＝０
８ｅ3x－１＝０

　　　１　　１
ｅ3x＝─＝（─）3 
　　　８　　２

　　　１
ｅx＝──
　　　２
したがって、
　　　　　　１
ｘ＝ｌｏｇe──＝－ｌｏｇe２＝－ｌｎ２
　　　　　　２
増減表を作って、
ｘ　　　　｜　………　｜　－ｌｎ２　｜　………　
────────────────────────
ｋ′（ｘ）｜　　－　　｜　　　０　　｜　　＋　　
────────────────────────
ｋ（ｘ）　｜　減　少　｜　極小・最小｜　増　加　

ｋ（－ｌｎ２）＝４ｅ-2ln2＋ｅln2
　　　　　　　＝４ｅln(1/4)＋ｅln2
　　　　　　　＝４・（１／４）＋２
　　　　　　　＝１＋２
　　　　　　　＝３

∴ｘ＝－ｌｎ２のとき、最小値３　……（答）