質問<3416>2006/9/29
(1) 複素数1+3iを解にもつ実数係数のxの2次方程式で、 x^2の係数が1であるものを求めよ。 (2) a,bを実数とする。4次方程式x^4-x^3+2x^2+ax+b=0が1+3iを解にもつとき, a,bの値を求めよ。また、そのときの他の解を求めよ。 (1) ⇒x^2-2x+10=0と求まりました。 (2) ⇒1+3iを代入して、a=22,b=-58が求まりました。共役な複素数も解に持つので、 元の方程式は^2-2x+10を因数に持つという考えでもっていこうと思ったのですが、 上手く解がでません。たぶん計算ミスかもしれませんが、完全解答お願いします。 ★完全解答希望★
お便り2006/9/30
from=wakky
(1)は正解だと思います。 共役な複素数も解ですから 解と係数の関係からすぐ求まりますね。 (2)ですが 考え方は正しいと思います。 なにか計算違いされたのでは? x^4-x^3+2x^2+ax+b を x^2-2x+10 で単純に割り算してみてください。 余りは (a-22)x+b+60となると思います。 これが恒等的に0になるのだから a=22,b=-60 これらを元の式に代入して もう一度 x^2-2x+10 で割り算すると うまく因数分解できて (x^2-2x+10)(x+3)(x-2)=0 従って残りの解は 共役な複素数解も含めて x=1-3i,-3,2 となるものと思います。