質問＜３４１８＞２００６／９／２９
from=プリン
「複素数」

A+biをAeのiラジアン乗に直したいんですが
どうすればいいのですか？

★完全解答希望★

お便り２００６／９／３０
from=wakky

ａ，ｂを実数、ｉを虚数単位として
複素数　ａ＋ｂ・ｉ
のことなんだと思います。
まず、
ａ＋ｂ・ｉ　を極形式で表現することは理解してますか？
偏角というものがわかるでしょうか？

複素数　ｚ＝ａ＋ｂ・ｉ　の偏角をθとすると
ｚ＝ａ＋ｂ・ｉ
　＝√（ａ^2＋ｂ^2）・（ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ）
　＝ｒ・（ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ）
ただし　ｒ＝√（ａ^2＋ｂ^2）すなわち、ｚの大きさ＝｜ｚ｜＝ｒ（＞０）

次に、オイラーの式という、有名な式があります。
映画「博士の愛した数式」にも登場しました。
証明はネットで検索すればすぐみつかるでしょう。
オイラーの式とは
ｅ^(iθ)＝ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ
というものです。

つまり複素数ｚの大きさがｒ（＞０）のとき
一般に
ｚ＝ｒ・ｅ^(iθ)
となるわけです。

まとめると
複素数　ａ＋ｂ・ｉ　の偏角をθ（ラジアン）とすると
ａ＋ｂ・ｉ＝√（ａ^2＋ｂ^2）・ｅ^(iθ)
といったところでしょう。