質問<3420>2006/9/30
次の問いについて答えに至る過程を詳しく教えて下さい。 平面上で、合同な正a角形b個を一点のまわりにすきまなく敷きつめるとき、 a、bの関係式を求め、それを満たす(a、b)を全て求めよ。 ★完全解答希望★
お便り2006/10/1
from=平 昭
こんにちは。完全解答希望、ということですが、この問題でそれをやっては 面白くありません。中学生レベルの知識で解けますから。 そこでヒントだけ。 次のような問題を考えてみましょう。 (1)正3角形、正方形、正5角形、正6角形はそれぞれ、1点の回りに隙間なく 敷き詰められるか。理由をつけて答えよ。 (2)n≧7の正n角形で、1点の周りに敷き詰められるものがあるか。あるなら そのnを示せ。なければ、ない理由を答えよ。 このくらい考えれば、元の問題が解けるでしょう。 なお、似たような考え方で「正n面体の種類を全て挙げ、他にない理由を説明せよ」 というのも解けるはずです。 昔、矢野健太郎先生の素人向け数学解説本で読みました。
お便り2006/10/1
from=地蔵
正a角形の一つの角の求め方は、 {(a-2)*180}/aであるのはよろしいでしょうか。 これが分かれば、単純です。 一点の周りは、360°です。 {(a-2)*180}/a°がbこあって360°なので、 b{(a-2)*180}/a=360で関係式が出来ます。 (a,b)を全て求めるには、 360の約数を書き出して、 aに代入していきます。 答えはa=3,4,5,6です。
お便り2006/10/1
from=juin
正a角形の外角の大きさは、(180°-(360°/a)) 1つの点の周りにb個の角が集まれば、 {180°-(360°/a)}b=360° 180°{a-2}b=360°a (a-2)b=2a ab-2b-2a=0 (a-2)(b-2)=4 (a,b)=(3,6),(4,4),(6,3)
お便り2006/10/2
from=wakky
まず地道にやってみましょう。 正a角形と言うからには、aはa≧3の整数。 一点の周りにすき間なく敷き詰めるのだからbはb≧3の整数。 正a角形のひとつの内角は 180-360/aなので b=360/(180-360/a)・・・① ①が正の整数となればいいわけです。 a 180-360/a b ----------------------------------- 3 60 6 4 90 4 5 108 10/3 6 120 3 7以上 不適 したがって (a,b)=(3,6),(4,4),(6,3) となります。 もう少し工夫すると ①を整理すると (a-2)(b-2)=4・・・② となります。 ②を満たす正の整数ということで直ちに答が導かれます。