質問<3426>2006/10/3
関数f(x)とg(x)は関係式 x^3f(x)=(x-1)g(x) を満たす。 ただし、f(x)は定数a,b,cを用いて、f(x)=x^2+bx+cと表される。 また、g(1)=1とする。 (1)a+b+cの値を求めよ。 (2)cをaのみの式で表せ。 (3)g(x)-1が(x-1)^2で割り切れるとき、bの値を求めよ。 (1)はx=1を代入して求められました。 (2)(3)が解りません。よろしくお願いします。 ★完全解答希望★
お便り2006/10/4
from=KINO
f(x)=ax^2+bx+c だとします。 関数f(x)とg(x)は関係式 x^3f(x)=(x-1)g(x) を満たす。 また、g(1)=1とする。 (1) 与えられた関係式において x=1 を代入すると,a+b+c=f(1)=0. (2) (1) の結果から,b=-a-c なので,f(x)=ax^2-(a+c)x+c=(ax-c)(x-1). これと x^3f(x)=(x-1)g(x) より,g(x)=x^3(ax-c). 1=g(1)=a-c より c=a-1. (3) g(x)-1=x^3(ax-a+1)=ax^4-ax^3+x^3-1. これを (x-1)^2 で割ると,割り算により余りは (a+3)x-(a+3). よって a=-3. c=a-1=-4, b=-a-c=7.
お便り2006/10/7
from=主夫
まず問題文の中で,aがわからないので,f(x)=ax^2+bx+c であると仮定します。 (2) (1)よりb=-a-c f(x) =ax^2-(a+c)x+c =(ax-c)(x-1) よって x^3f(x)=(x-1)g(x) (x^3)(ax-c)(x-1)=(x-1)g(x) (x^3)(ax-c)=g(x) x=1を代入 a-c=g(1)=1 ∴c=a-1 (3) (2)より得られたc=a-1を元の式に代入すると, (x^3)(ax-a+1)=g(x) つまり g(x)-1 =(x^3)(ax-a+1)-1 =ax^4+(1-a)x^3-1 これが(x-1)^2を因数に持つから, 組み立て除法を2回やってでた余り 3+a=0 となる。 ∴a=-3 余りを求めるには,組み立て除法を用いずに, 実際に ax^4+(1-a)x^3-1 を(x-1)^2 で割ってみてもいいです。 いずれにしてもあまりかっこいい解答じゃないですけど。