質問＜３４２６＞２００６／１０／３
from=３の男
「因数定理」

関数f(x)とg(x)は関係式　x^3f(x)=(x-1)g(x)　を満たす。
ただし、f(x)は定数a,b,cを用いて、f(x)=x^2+bx+cと表される。
また、g(1)=1とする。

(1)a+b+cの値を求めよ。
(2)cをaのみの式で表せ。
(3)g(x)-1が(x-1)^2で割り切れるとき、bの値を求めよ。

(1)はx=1を代入して求められました。
(2)(3)が解りません。よろしくお願いします。

★完全解答希望★

お便り２００６／１０／４
from=KINO

f(x)=ax^2+bx+c だとします。

関数f(x)とg(x)は関係式　x^3f(x)=(x-1)g(x)　を満たす。
また、g(1)=1とする。

(1) 与えられた関係式において x=1 を代入すると，a+b+c=f(1)=0.

(2) (1) の結果から，b=-a-c なので，f(x)=ax^2-(a+c)x+c=(ax-c)(x-1).
これと x^3f(x)=(x-1)g(x) より，g(x)=x^3(ax-c).
1=g(1)=a-c より c=a-1.

(3) g(x)-1=x^3(ax-a+1)=ax^4-ax^3+x^3-1.
これを (x-1)^2 で割ると，割り算により余りは (a+3)x-(a+3). 
よって a=-3. c=a-1=-4, b=-a-c=7.

お便り２００６／１０／７
from=主夫

まず問題文の中で，aがわからないので，f(x)=ax^2+bx+c  であると仮定します。
(2)
(1)よりb=-a-c
f(x)
=ax^2-(a+c)x+c
=(ax-c)(x-1)
よって
x^3f(x)=(x-1)g(x)
(x^3)(ax-c)(x-1)=(x-1)g(x)
(x^3)(ax-c)=g(x)
x=1を代入
a-c=g(1)=1
∴c=a-1

(3)
(2)より得られたc=a-1を元の式に代入すると，
(x^3)(ax-a+1)=g(x)
つまり
g(x)-1
=(x^3)(ax-a+1)-1
=ax^4+(1-a)x^3-1
これが(x-1)^2を因数に持つから，
組み立て除法を２回やってでた余り
3+a=0 となる。
∴a=-3

余りを求めるには，組み立て除法を用いずに，
実際に ax^4+(1-a)x^3-1 を(x-1)^2 で割ってみてもいいです。
いずれにしてもあまりかっこいい解答じゃないですけど。