質問

1,連立方程式　
　　　　　　　　x+y=a
　　　　　　　　xy=b
が実数階を持つための必要十分条件をa,bに関する式で表せ。

2,連立方程式
　　　　　　　　x^2+3xy+y^2=a
　　　　　　　　x^2+y^2=2
が実数解を持つようなaの範囲を求めよ。

よろしくお願いします。　

★希望★完全解答★

お便り２００６／１０／１５
from=wakky

（１）
解と係数の関係から、ｘ，ｙは、ｔに関する二次方程式
ｔ^2－ａｔ＋ｂ＝０・・・①　の解である。
これが実数解を持つための必要十分条件は
判別式をＤとすると
Ｄ＝ａ^2－４ｂ≧０・・・（答）

（２）
質問＜３３７７＞で、UnderBirdさんがエレガントに解答されています。
ここでは、（１）が（２）を解くための誘導だと考えて、別解を示します。

ｘ^2＋３ｘｙ＋ｙ^2＝ａ・・・②
ｘ^2＋ｙ^2＝２・・・③

ｘ＋ｙ＝α，ｘｙ＝βとおくと
②より
α^2＋β＝ａ・・・④
③より
α^2－２β＝２・・・⑤
④－⑤より
β＝（ａ－２）／３
よって④より
α^2＝（２ａ＋２）／３
ｘ，ｙが実数だからαは実数なので
α^2≧０　すなわち　（２ａ＋２）／３≧０
∴ａ≧－１・・・⑥
また（１）の結果から
α^2－４β≧０
したがって
｛（２ａ＋２）／３｝－｛（４ａ－８）／３｝≧０
これを解いて
ａ≦５・・・⑦
⑥と⑦が同時に満たされればよいから
－１≦ａ≦５・・・（答）