質問<3431>2006/10/14
1,連立方程式 x+y=a xy=b が実数階を持つための必要十分条件をa,bに関する式で表せ。 2,連立方程式 x^2+3xy+y^2=a x^2+y^2=2 が実数解を持つようなaの範囲を求めよ。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/10/15
from=wakky
(1) 解と係数の関係から、x,yは、tに関する二次方程式 t^2-at+b=0・・・① の解である。 これが実数解を持つための必要十分条件は 判別式をDとすると D=a^2-4b≧0・・・(答) (2) 質問<3377>で、UnderBirdさんがエレガントに解答されています。 ここでは、(1)が(2)を解くための誘導だと考えて、別解を示します。 x^2+3xy+y^2=a・・・② x^2+y^2=2・・・③ x+y=α,xy=βとおくと ②より α^2+β=a・・・④ ③より α^2-2β=2・・・⑤ ④-⑤より β=(a-2)/3 よって④より α^2=(2a+2)/3 x,yが実数だからαは実数なので α^2≧0 すなわち (2a+2)/3≧0 ∴a≧-1・・・⑥ また(1)の結果から α^2-4β≧0 したがって {(2a+2)/3}-{(4a-8)/3}≧0 これを解いて a≦5・・・⑦ ⑥と⑦が同時に満たされればよいから -1≦a≦5・・・(答)