質問<3437>2006/10/17
いつもお世話になっています。どうすればいいのかわかりません、教えてください。 nは任意の自然数とする。 n(n+1)(n+2)は6の倍数であることを示せ。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/10/18
from=ノビッタ
2つの自然数の連続積は偶数である…(*1) 3つの自然数の連続積は3の倍数である…(*2) (*1)(*2) より、 n(n+1)(n+2) は偶数かつ3の倍数。 よって、n(n+1)(n+2) は6の倍数である。 …というのが略解なのですが、 (*1)(*2) の部分が腑に落ちないと思いますのでそこを証明します。 (証明と言えるほど大げさなものではありませんが) まず(*1) の証明。 2つの自然数の連続積は、ある自然数 n を用いて n × (n+1) と表せます。 このとき、 n が奇数なら (n+1) は偶数、 (n+1) が奇数なら n は偶数ですから、 n × (n+1) はある偶数と奇数の積ですので、必ず偶数になります。 次に(*2) の証明。 3つの自然数の連続積は、ある自然数 n を用いて n × (n+1) × (n+2) と表せます。 このどれか1つが3の倍数であることを示せれば勝ちな訳です。 一番簡単な方法は、 (ア) n が3で割って1余る数 (イ) n が3で割って2余る数 (ウ) n が3の倍数 で場合分けをしてみることじゃないかと思います。 やってみて下さい。 …とここまで書いてから言うのも何ですが、 質問<3379> により分かりやすい解説が載っていました。 そちらも参照して下さい。
お便り2006/10/18
from=下野哲史
nは任意の自然数とする。 n(n+1)(n+2)は6の倍数であることを示せ。 n, n+1, n+2 は連続する3つの整数であるから、一つは必ず偶数であり、 また一つは3の倍数であるから、その積は6の倍数である。 これじゃだめなんですか? ならば丁寧に数学的帰納法でやることですかね。 いずれにせよ、連続する2つの整数の積が偶数であることが使えないと やや面倒な証明になりそうな気がします。
お便り2006/10/20
from=S~(社会人)
こんにちは。参加します。 ( 答案 ) (1) n(n+1)(n+2)=N の左辺は 3 個の連続した自然数の積であ るから、 奇数*偶数*奇数、偶数*奇数*偶数 のいずれかの態様となり、 n、n+1、n+2 のうち少なくとも 1 個は 2m( m は或る自然数 ) と書くことができる。 (2) 一方、同様に N は連続した 3 個の自然数の積であるから、それらの 自然数のうち 1 個は必ず 3 の倍数である。 なんとなれば、 n は 3l-2、3l-1、3l ( l は或る自然数 ) のいずれかであるから、 (イ) n=3l-2 のときは n+2=(3l-2)+2=3l が 3 の倍数。 (ロ) n=3l-1 のときは n+1=(3l-1)+1=3l が 3 の倍数。 (ハ) n=3l のときは n が 3 の倍数。 などである。 (3) このとき、 (イ) n=2m であれば、 (イ-1) n が 3 の倍数のときは m が 3 の倍数となり、 N が 6 の倍数であることが判る。 (イ-2) n が 3 の倍数でないときは残りの n+1 か n+2 が 3 の倍数となり、 N が 6 の倍数であることが判る。 (ロ) あとの、 n+1=2m、n+2=2m などのときも同様である。 というようなことでどうでしょうか。 (※赤字の部分は10/21にあったS~(社会人)さんからの訂正部分です。)