質問＜３４５９＞２００６／１１／３
from=はな
「集合、写像」

「YuKaN」さんと同じ質問ですが、詳しい解答を教えてください。お願いします。

G＝｛ｘ｜ｘ∈R、｜ｘ｜＜１｝とする。ｘ、ｙ∈G　に対して
ｘ。ｙ＝（ｘ＋ｙ）/（１＋ｘｙ）
と定義する。

（１）ｘ、ｙ∈G　について　ｘ。ｙ∈Gを示せ。

（２）G　の演算　。　は結合法則をみたすことを示せ。 

★希望★完全解答★

お便り２００６／１１／７
from=juin

(1)
|1+xy|^2-|x+y|^2=1+2xy+(xy)^2-(x^2+2xy+y^2)=1-x^2-y^2+(xy)^2
=(1-x^2)(1-y^2)＞0よって、|1+xy|^2＞|x+y|^2
|1+xy|＞|x+y|つまり、1＞|(x+y)/(1+xy)|

(2)
(xy)z={(x+y)/(1+xy)}z={(x+y)/(1+xy)+z}/[1+{(x+y)/(1+xy)}z]
=(x+y+z)/(1+xy+yz+zx)
x(yz)=x{(y+z)/(1+yz)}={x+(y+z)/(1+yz)}/[1+x{(y+z)/(1+yz)}]
=(x+y+z)/(1+xy+yz+zx)
だから、(xy)z=x(yz)