質問<3459>2006/11/3
「YuKaN」さんと同じ質問ですが、詳しい解答を教えてください。お願いします。 G={x|x∈R、|x|<1}とする。x、y∈G に対して x。y=(x+y)/(1+xy) と定義する。 (1)x、y∈G について x。y∈Gを示せ。 (2)G の演算 。 は結合法則をみたすことを示せ。 ★希望★完全解答★
お便り2006/11/7
from=juin
(1) |1+xy|^2-|x+y|^2=1+2xy+(xy)^2-(x^2+2xy+y^2)=1-x^2-y^2+(xy)^2 =(1-x^2)(1-y^2)>0よって、|1+xy|^2>|x+y|^2 |1+xy|>|x+y|つまり、1>|(x+y)/(1+xy)| (2) (xy)z={(x+y)/(1+xy)}z={(x+y)/(1+xy)+z}/[1+{(x+y)/(1+xy)}z] =(x+y+z)/(1+xy+yz+zx) x(yz)=x{(y+z)/(1+yz)}={x+(y+z)/(1+yz)}/[1+x{(y+z)/(1+yz)}] =(x+y+z)/(1+xy+yz+zx) だから、(xy)z=x(yz)