質問<3468>2006/11/24
いつもお世話になっています。 nは自然数とする ・ (10^n+2)/3は自然数であることを示し、10進法表示で表せ よろしくお願いします ★希望★完全解答★
お便り2006/11/25
from=wakky
まず推定してみます。 n=1のとき (10+2)/3=12/3=4 n=2のとき (100+2)/3=34 n=3のとき (1000+2)/3=334 以上から (10^n+2)/3=333・・・34(3はn-1個続き1の位が4)と推定できます。 これが正しいことを数学的帰納法で示せばよい訳です。 n=1,2,3のときは上から正しいことがわかります。 n=kのとき正しいと仮定すると (10^k+2)/3=333・・・34(3はn-1個続き1の位が4)が成り立ちます。 n=k+1のとき {10^(k+1)+2}/3=10{(10^k+2)/3}-(18/3) =10{(10^k+2)/3}-6 =333・・・340(3がk-1個続き10の位が4で1の位が0)-6 =333・・・334(3がk個続き1の位が4) 以上からn=k+1のときも正しいことが示されました。 したがって (10^n+2)/3 は自然数であり 10進法表示すると 333・・・・34(3はn-1個続き1の位が4)というnけたの自然数である。