質問＜３４６８＞２００６／１１／２４
from=サイ
「証明」

いつもお世話になっています。

nは自然数とする
・　（10^n+2）/3は自然数であることを示し、10進法表示で表せ

よろしくお願いします

★希望★完全解答★

お便り２００６／１１／２５
from=wakky

まず推定してみます。
ｎ＝１のとき
（１０＋２）／３＝１２／３＝４
ｎ＝２のとき
（１００＋２）／３＝３４
ｎ＝３のとき
（１０００＋２）／３＝３３４
以上から
（１０^n＋２）／３＝３３３・・・３４（３はｎ－１個続き１の位が４）と推定できます。
これが正しいことを数学的帰納法で示せばよい訳です。
ｎ＝１，２，３のときは上から正しいことがわかります。
ｎ＝ｋのとき正しいと仮定すると
（１０^k＋２）／３＝３３３・・・３４（３はｎ－１個続き１の位が４）が成り立ちます。
ｎ＝ｋ＋１のとき
｛１０^(k+1)＋２｝／３＝１０｛（１０^k＋２）／３｝－（１８／３）
　　　　　　　　　　　　＝１０｛（１０^k＋２）／３｝－６
　　　　　　　　　　　　＝３３３・・・３４０（３がk-1個続き１０の位が４で１の位が０）－６
　　　　　　　　　　　　＝３３３・・・３３４（３がk個続き１の位が４）
以上からｎ＝ｋ＋１のときも正しいことが示されました。
したがって
（１０^n＋２）／３　は自然数であり
１０進法表示すると
３３３・・・・３４（３はn-1個続き１の位が４）というｎけたの自然数である。