質問＜３４７３＞２００６／１１／２８
from=サイ
「極限（？）」

いつもお世話になっています。

①　ｘ＞０のとき、任意のｎ（ｎは自然数）に対し
　　　e^x ＞ Σ（x^k/k!）    (ΣはK=0からｎまで)
　　が成り立つことを示せ。

テイラー展開を用いる以外の証明方法に関してアドバイスお願いします。

②　任意のｎ（ｎは自然数）に対し
　　　lim(x→＋∞)（x^n/e^x）=0
　　が成り立つことを示せ。

ロピタル以外の証明方法に関してアドバイスお願いします。

よろしくお願いします

★希望★完全解答★

お便り２００６／１２／１
from=μG

①　f(x)=(左辺)-(右辺) とおいて
　　任意のｎに対し、f(x)がx＞0において単調増加であることを示せばよい。

　　微分や数学的帰納法などを用いる

②　①を用いてはさみうち

お便り２００６／１２／２
from=juin

(1)数学的帰納法による。
n=0のとき。e^0=1,(e^x-1)'=e^x＞0だから、e^x＞1
nまで成り立つとする。つまり、e^x＞Σ[k=1,n]x^k/k!
n+1のとき。e^0=1=Σ0^k/k!
(e^x-Σ[k=0,n+1]x^k/k!)'=e^x-Σ[k=0,n]x^k/k!＞0「帰納法の仮定による」
よって、e^x＞Σ[k=o,n+1]x^k/k!
(2)
(1)の結果を使う。
x^n/e^x＜x^n/{Σ[k=0,n+1]x^k/k!}＜x^n/{x^(n+1)/(k+1)!}→0 (as x→∞)