質問<3473>2006/11/28
いつもお世話になっています。 ① x>0のとき、任意のn(nは自然数)に対し e^x > Σ(x^k/k!) (ΣはK=0からnまで) が成り立つことを示せ。 テイラー展開を用いる以外の証明方法に関してアドバイスお願いします。 ② 任意のn(nは自然数)に対し lim(x→+∞)(x^n/e^x)=0 が成り立つことを示せ。 ロピタル以外の証明方法に関してアドバイスお願いします。 よろしくお願いします ★希望★完全解答★
お便り2006/12/1
from=μG
① f(x)=(左辺)-(右辺) とおいて 任意のnに対し、f(x)がx>0において単調増加であることを示せばよい。 微分や数学的帰納法などを用いる ② ①を用いてはさみうち
お便り2006/12/2
from=juin
(1)数学的帰納法による。 n=0のとき。e^0=1,(e^x-1)'=e^x>0だから、e^x>1 nまで成り立つとする。つまり、e^x>Σ[k=1,n]x^k/k! n+1のとき。e^0=1=Σ0^k/k! (e^x-Σ[k=0,n+1]x^k/k!)'=e^x-Σ[k=0,n]x^k/k!>0「帰納法の仮定による」 よって、e^x>Σ[k=o,n+1]x^k/k! (2) (1)の結果を使う。 x^n/e^x<x^n/{Σ[k=0,n+1]x^k/k!}<x^n/{x^(n+1)/(k+1)!}→0 (as x→∞)