質問<3476>2006/12/6
曲線 C: z=z(t)=x(t)+iy(t) (a≦t≦b) は閉集合であることを示せ。 教科書の問題なのですが、全く解答が思い浮かびません(>_<) ちなみにこのテキストでは 『Aの余集合が開集合のとき、Aは閉集合である』 が閉集合の定義であり、 『開集合は内点のみからなる集合』、『B(α:ε)={z∈複素数||z-α|<ε}、こ れをαのε近傍という』、『集合A⊂複素数が与えられたとき、z0∈複素数 に対し て、ε>0が存在して、B(z0:ε)⊂Aとなるとき、z0をAの内点という』がそれぞ れの定義です。 どうぞよろしくお願いします(>_<) ★希望★完全解答★
お便り2006/12/8
from=juin
z:[0,1]→Cは、連続関数である。 曲線C上に無い点αをとり、f(t)=|z(t)-α|を考えると、f(t)>0である。 f(t)は、[0,1]上の連続関数だから、最小値m>0をとる。 ε=m/2とすれば、B(α;ε)∩C=φとなる。よって、Cの補集合内の点αは、 内点である。だから、Cは、閉集合である。
お便り2006/12/14
from=柚月
juinさん、ありがとうございます☆ ところで、その場合だと、αが曲線上にないことになっていますが、 もし曲線上にある時はどうなるのでしょうか? 絶対に曲線外にあるのならば理由を教えていただきたいです(>_<) そこがどうしてもわからなくて・・・・ よろしくお願いします☆
お便り2006/12/15
from=juin
「Cの補集合が開集合であるとき、Cが閉集合である」 Cの補集合から、点αを選ぶので、αは曲線C上にはない。