質問＜３４７６＞２００６／１２／６
from=柚月
「閉集合の証明」

曲線　Ｃ：　z=z(t)=x(t)+iy(t)　　（a≦t≦b）
は閉集合であることを示せ。

教科書の問題なのですが、全く解答が思い浮かびません(＞_＜)
ちなみにこのテキストでは

『Ａの余集合が開集合のとき、Ａは閉集合である』

が閉集合の定義であり、

『開集合は内点のみからなる集合』、『Ｂ(α：ε)=｛z∈複素数｜|z-α|＜ε｝、こ
れをαのε近傍という』、『集合Ａ⊂複素数が与えられたとき、z0∈複素数　に対し
て、ε＞0が存在して、Ｂ(z0：ε)⊂Ａとなるとき、z0をＡの内点という』がそれぞ
れの定義です。

どうぞよろしくお願いします(＞_＜)

★希望★完全解答★

お便り２００６／１２／８
from=juin

z:[0,1]→Cは、連続関数である。
曲線C上に無い点αをとり、f(t)=|z(t)-α|を考えると、f(t)＞0である。
f(t)は、[0,1]上の連続関数だから、最小値m＞0をとる。
ε=m/2とすれば、B(α;ε)∩C=φとなる。よって、Cの補集合内の点αは、
内点である。だから、Cは、閉集合である。

お便り２００６／１２／１４
from=柚月

juinさん、ありがとうございます☆
ところで、その場合だと、αが曲線上にないことになっていますが、
もし曲線上にある時はどうなるのでしょうか？
絶対に曲線外にあるのならば理由を教えていただきたいです(＞_＜)
そこがどうしてもわからなくて・・・・
よろしくお願いします☆

お便り２００６／１２／１５
from=juin

「Cの補集合が開集合であるとき、Cが閉集合である」
Cの補集合から、点αを選ぶので、αは曲線C上にはない。