質問＜３４９２＞２００６／１２／２７
from=四国
「数学的帰納法」

正の整数からなる整列{a_n}をa_n=(13)^n+2*(23)^(n-1)で定める。
①　a_1,a_2を求め、それぞれを因数分解せよ
②　a_n(n=1,2,3,・・・)のすべてに共通する素因数が存在することを、
　　数学的帰納法を用いて示せ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／１２／２８
from=主夫

（１）の問題は素因数分解の誤りでしょう．
a_1=15=3*5
a_2=215=5*43

（２）
（１）の結果から，a_nを素因数分解すると，５が共通すると仮定します．

n=1のとき，（１）の結果より成立する．

次に，a_k=13^k+2*23^(k-1)=5N　と表せるものと仮定します．
n=k+1のとき，
a_(k+1)
=13^(k+1)+2*23^k
=13*13^k+2*23*23^(k-1)
=13*13^k+(13*2+20)*23^(k-1)
=13{13^k+2*23^(k-1)}+20*23^(k-1)
=13*5N+5*4*23^(k-1)
=5{13N+4*23^(k-1)}
よってn=k+1のときも成立する．

以上から，すべての自然数について，a_nを素因数分解すると，５が共通して
存在することが証明された．