質問<3492>2006/12/27
正の整数からなる整列{a_n}をa_n=(13)^n+2*(23)^(n-1)で定める。 ① a_1,a_2を求め、それぞれを因数分解せよ ② a_n(n=1,2,3,・・・)のすべてに共通する素因数が存在することを、 数学的帰納法を用いて示せ。 ★希望★完全解答★
お便り2006/12/28
from=主夫
(1)の問題は素因数分解の誤りでしょう. a_1=15=3*5 a_2=215=5*43 (2) (1)の結果から,a_nを素因数分解すると,5が共通すると仮定します. n=1のとき,(1)の結果より成立する. 次に,a_k=13^k+2*23^(k-1)=5N と表せるものと仮定します. n=k+1のとき, a_(k+1) =13^(k+1)+2*23^k =13*13^k+2*23*23^(k-1) =13*13^k+(13*2+20)*23^(k-1) =13{13^k+2*23^(k-1)}+20*23^(k-1) =13*5N+5*4*23^(k-1) =5{13N+4*23^(k-1)} よってn=k+1のときも成立する. 以上から,すべての自然数について,a_nを素因数分解すると,5が共通して 存在することが証明された.