質問<350>2000/10/31
nが3以上の自然数の時、 次の不等式が成り立つ事を数学的帰納法によって証明せよ。 3n >n・2n +1 と言う問題で、最後の方で (3k・2k +3)-{(k+1)2k+1+1} =~~~~~~~~~~>0 のトコの、途中式が良くわかりません。 ココの計算だけで結構です!! 是非よろしくお願いします。
お返事2000/10/31
from=武田
3n >n・2n +1を数学的帰納法で証明すると、 (1)n=3のとき、 左辺=33 =27 右辺=3・23 +1=3・8+1=25 したがって、左辺>右辺 (2)n=kのとき下式が成り立つと仮定して、 3k >k・2k +1 n=k+1のとき、 左辺=3k+1 =3・3k >3(k・2k +1) =3k・2k +3 右辺=(k+1)2k+1 +1 与式P=左辺-右辺=(3k・2k +3)-{(k+1)2k+1 +1} =3k・2k +3-(k+1)2k+1 -1 =3k・2k +3-2(k+1)2k -1 =3k・2k +3-(2k+2)2k -1 =(k-2)2k +2 k≧3より、(k-2)>0 指数はすべて正より、2k >0より、 P>0 したがって、左辺-右辺>0∴左辺>右辺 (1)(2)より、3以上の自然数のとき成り立つ。