質問＜３５０＞２０００／１０／３１
from=ゆうき
「数学的帰納法の証明（不等式）」

ｎが３以上の自然数の時、
次の不等式が成り立つ事を数学的帰納法によって証明せよ。
３n ＞ｎ・２n ＋１

と言う問題で、最後の方で
（３ｋ・２k ＋３）－｛（ｋ＋１）２k+1＋１｝
＝～～～～～～～～～～＞０
のトコの、途中式が良くわかりません。
ココの計算だけで結構です！！
是非よろしくお願いします。

お返事２０００／１０／３１
from=武田

３n ＞ｎ・２n ＋１を数学的帰納法で証明すると、
（１）ｎ＝３のとき、
　　　　左辺＝３3 ＝２７
　　　　右辺＝３・２3 ＋１＝３・８＋１＝２５
　　　　したがって、左辺＞右辺
（２）ｎ＝ｋのとき下式が成り立つと仮定して、
　　　　３k ＞ｋ・２k ＋１
　　　ｎ＝ｋ＋１のとき、
　　　　左辺＝３k+1 ＝３・３k ＞３（ｋ・２k ＋１）
　　　　　　＝３ｋ・２k ＋３
　　　　右辺＝（ｋ＋１）２k+1 ＋１
　　　　与式Ｐ＝左辺－右辺＝（３ｋ・２k ＋３）－｛（ｋ＋１）２k+1 ＋１｝
　　　　　　　＝３ｋ・２k ＋３－（ｋ＋１）２k+1 －１
　　　　　　　＝３ｋ・２k ＋３－２（ｋ＋１）２k －１
　　　　　　　＝３ｋ・２k ＋３－（２ｋ＋２）２k －１
　　　　　　　＝（ｋ－２）２k ＋２
　　　　ｋ≧３より、（ｋ－２）＞０
　　　　指数はすべて正より、２k ＞０より、
　　　　Ｐ＞０
　　　　したがって、左辺－右辺＞０∴左辺＞右辺
（１）（２）より、３以上の自然数のとき成り立つ。