質問<3502>2007/1/14
f(x)=x^3-ax^2+ax-3aがあり、関数g(x)をg(x)=f(x)-xf ' (x)とする。ただし、aは定数とする。 ①f ' (x),g(x)を求めよ。 ②a>0とする。g(x)の極大値、極小値をaを用いて表せ。 ③a≠0とする。g(x)=0が異なる実数解を2つだけもつとき、定数aの値とそのときの実数解を求めよ。 ★希望★完全解答★
お便り2007/1/16
from=wakky
①単純計算なので答だけ f’(x)=3x^2-2ax+a g(x)=-2x^3+ax^2-3a ② g’(x)=-2x(3x-a) g’(x)=0のとき x=0,a/3 a>0より増減表(省略)を書いて x=0のとき極小値-3a x=a/3のとき極大値(a^3/27)-3a ③ x→-∞のときg(x)→+∞ x→+∞のときg(x)→-∞である。 a>0のとき ②より-3a<0だから (a^3/27)-3a=0のときちょうどふたつの実数解を持ち x=a/3は重解であることはすぐ分る。 a<0のとき x=a/3(<0)のとき極小値(a^3/27)-3a x=0のとき極大値-3a(>0)だから やはり(a^3/27)-3a=0のときちょうどふたつの実数解を持ち x=a/3は重解である。 (a^3/27)-3a=0を解いて、a≠0より a=±9 よって、x=±3が重解となって a=9のとき g(x)=-(x-3)^2・(2x+3)=0より x=3,-2/3 a=-9のとき g(x)=-(x+3)^2・(2x-3)=0より x=-3,2/3