質問＜３５１４＞２００７／３／１１
from=小豆
「ベクトル」

いつもお世話になっています。
以下の質問を教えて下さい。
宜しくお願いします。

ａ１，ａ２，・・・,ａｐが１次独立で, ａ１，ａ２，・・・,ａｐ,ｂが１次従属
であるとき,
ｂがａ１，ａ２，・・・,ａｐの１次結合で表せることを示せ。

★希望★完全解答★

お便り２００７／３／２２
from=UnderBird

大雑把に言うと
ａ１，ａ２，・・・,ａｐが１次独立とは、
λ１*ａ１＋λ２*ａ２＋・・・＋λｐ*ａｐ＝０となるのがλ１＝λ２＝・・・＝λｐ＝０の場合のみ
ａ１，ａ２，・・・,ａｐが１次従属とは、
λ１*ａ１＋λ２*ａ２＋・・・＋λｐ*ａｐ＝０となるのがλ１＝λ２＝・・・＝λｐ＝０以外にもある
ということ

ａ１，ａ２，・・・,ａｐ,ｂが１次従属ですから、
λ１*ａ１＋λ２*ａ２＋・・・＋λｐ*ａｐ＋λｐ＋１*ｂ＝０であるとき、
λ１＝λ２＝・・・＝λｐ＝λＰ＋１＝０以外にもあるということ。
　ここで、もしλｐ＋１＝０であると仮定すると
上の等式は、λ１*ａ１＋λ２*ａ２＋・・・＋λｐ*ａｐ＋０*ｂ＝０
すなわち、λ１*ａ１＋λ２*ａ２＋・・・＋λｐ*ａｐ＝０となってしまい、
ａ１，ａ２，・・・,ａｐが１次独立でしたから、上式を満たすλ１，λ２，・・・，λｐは
λ１＝λ２＝・・・＝λｐ＝０の場合のみしかなく、
結局λ１＝λ２＝・・・＝λｐ＝λｐ＋１＝０となり、
ａ１，ａ２，・・・,ａｐ,ｂが１次従属であることに矛盾します。（背理法）
よって、λｐ＋１≠０でなくてはいけないことがわかりました。
このことから、
λｐ＋１*ｂ＝－λ１*ａ１－λ２*ａ２－・・・－λｐ*ａｐと変形し、両辺をλｐ＋１（≠０）で割ると
ｂ＝（－λ１/λｐ＋１）*ａ１－（λ２/λｐ＋１）*ａ２－・・・－（λｐ/λｐ＋１）*ａｐ
となるので、
ｂはａ１，ａ２，・・・,ａｐの１次結合で表せることが示せました。