質問<3514>2007/3/11
いつもお世話になっています。 以下の質問を教えて下さい。 宜しくお願いします。 a1,a2,・・・,apが1次独立で, a1,a2,・・・,ap,bが1次従属 であるとき, bがa1,a2,・・・,apの1次結合で表せることを示せ。 ★希望★完全解答★
お便り2007/3/22
from=UnderBird
大雑把に言うと a1,a2,・・・,apが1次独立とは、 λ1*a1+λ2*a2+・・・+λp*ap=0となるのがλ1=λ2=・・・=λp=0の場合のみ a1,a2,・・・,apが1次従属とは、 λ1*a1+λ2*a2+・・・+λp*ap=0となるのがλ1=λ2=・・・=λp=0以外にもある ということ a1,a2,・・・,ap,bが1次従属ですから、 λ1*a1+λ2*a2+・・・+λp*ap+λp+1*b=0であるとき、 λ1=λ2=・・・=λp=λP+1=0以外にもあるということ。 ここで、もしλp+1=0であると仮定すると 上の等式は、λ1*a1+λ2*a2+・・・+λp*ap+0*b=0 すなわち、λ1*a1+λ2*a2+・・・+λp*ap=0となってしまい、 a1,a2,・・・,apが1次独立でしたから、上式を満たすλ1,λ2,・・・,λpは λ1=λ2=・・・=λp=0の場合のみしかなく、 結局λ1=λ2=・・・=λp=λp+1=0となり、 a1,a2,・・・,ap,bが1次従属であることに矛盾します。(背理法) よって、λp+1≠0でなくてはいけないことがわかりました。 このことから、 λp+1*b=-λ1*a1-λ2*a2-・・・-λp*apと変形し、両辺をλp+1(≠0)で割ると b=(-λ1/λp+1)*a1-(λ2/λp+1)*a2-・・・-(λp/λp+1)*ap となるので、 bはa1,a2,・・・,apの1次結合で表せることが示せました。