質問＜３５１５＞２００７／３／１１
from=小豆
「整数問題」

いつもお世話になっています。
以下の問題を教えて下さい。
宜しくお願いします。

１５ｘ＋２８ｙ＋１４ｚ＝４を満たす整数の組(ｘ,ｙ,ｚ)
を全て求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００７／３／１２
from=ZELDA

（回答）
  （議論１）   15x+28y+14z=4
  ⇔28y+14z=4-15x・・・（１）
   
  （１）の左辺は１４の倍数であるから、
  （１）が整数解をもつには右辺が１４の倍数である必要がある。
  このとき、4-15x=14m (m∈Z)とする。
  すると(1)は、
     28y+14z=14m
  ⇔2y+z=m
  ⇔2(m-y)=(z+m)・・・（２）
  ２と１は互いに素であるから、z+mは２の倍数である。
  ゆえに、z+m=2n (n∈Z)とおける。
  このとき、（２）は次のようになる。
      2(m-y)=2n
  ⇔m-y=n
  したがって、y=m-n ∧ z=-m+2n ・・・（３）
  となり、4-15xが14の倍数であるとき、（１）はたしかに整数解をもつ。
  したがって、（１）が整数解をもつ必要十分条件は4-15xが１４の倍数であることである。
   
   
  （議論２）
  4-15x=14mをみたす整数(x , m)の組をすべて求める。
     15x+14m=4・・・（４）
  ⇔15(4-x)=14(m+4)
  ここで、１４と１５は互いに素であるから、4-xは１４の倍数である。
  4-x=14k (k∈Z)とすると、（４）は次のようになる。
     15×14k=14(m+4)
  ⇔15k=m+4
  以上から、x=-14k+4 ∧ m=15k-4・・・（４）
   
   
  最後に（議論１）と（議論２）をまとめて、
  x=-14k+4             （∵(3) )      
  y=m-n=15k-4-n=15k-n-4　　　　(∵(3),(4) )
  z=-m+2n=-15k+4+2n=-15k+2n+4         (∵(3),(4) )

お便り２００７／３／１８
from=wakky

１５ｘ＋２８ｙ＋１４ｚ＝４
１５ｘ＋１４（２ｙ＋ｚ）＝４
２ｙ＋ｚ＝ｗとおくとｗは整数。
１５ｘ＋１４ｗ＝４
ｗ＝（４－１５ｘ）／１４＝｛（４－ｘ）／１４｝－ｘ
よって、４－ｘは１４の倍数だから
４－ｘ＝１４ｋ（ｋは整数）
∴ｘ＝４－１４ｋ（ｋは整数）
このとき
ｗ＝－４＋１５ｋ
ｗ＝２ｙ＋ｚ＝－４＋１５ｋより
ｙ＝（－ｚ－４＋１５ｋ）／２＝｛（－ｚ＋１５ｋ）／２｝－２
よって、－ｚ＋１５ｋは２の倍数だから
－ｚ＋１５ｋ＝２ｍ（ｍは整数）
∴ｚ＝１５ｋ－２ｍ
このとき
ｙ＝ｍ－２
以上から
（ｘ，ｙ，ｚ）＝（４－１４ｋ，ｍ－２，１５ｋ－２ｍ）
ただし、ｋ，ｍは整数