質問<3519>2007/3/13
逆写像⇔逆行列 つまり逆写像が存在するならば逆行列が存在することは、 どのように説明(証明)すればいいのですか? 教えてください。よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2007/4/7
from=hugen
A を n 次正方行列とし、 写像 f(x)=Ax (x∈R^n ) -----------(1) が、逆写像 g をもつとする。 f は線形写像だから、その逆写像 g も線形写像であり(定理) B を適当な n 次正方行列として g(y)=By と一意的に表わされる。( 定理 ) -------(2) 逆写像の性質より、任意の x について g(f(x))=x (1) (2) を代入すると BA x=E x 線形写像の行列による表示は一意的なので(定理) BA=E ---------------(3) 同様に、任意の y について f(g(y))=y より ABy=Ey となって AB=E --------------(4) (3) (4) より A は逆行列 B をもつ。