質問＜３５４＞２０００／１１／１２
武田先生、失礼します。
合成関数の微分の問題で、「f(x)＝1／√{x2乗＋2x}をxで微分せよ」
というのがあるのですが、
この問題を解くときに、
1／√{x2乗＋2x}＝（√{x2乗＋2x}）－1乗＝（x2乗＋2x）－1/2乗
としてから、合成関数の微分の公式に当てはめると上手くいくのですが、
先に合成関数の微分の公式に当てはめて、
(1／√{x2乗＋2x})'(x2乗＋2x)'
とすると、なんだかヘンになってしまうのですが、
これは上の方法で解くべきということなのですか？
お返事２０００／１１／１２
from=武田
①合成関数の微分は次のようにやります。 １ ｙ＝──────── √（ｘ2 ＋２ｘ） √の中をｔとおくと、 ｔ＝ｘ2 ＋２ｘ ｄｔ ──＝２ｘ＋２ ｄｘ １ ｙ＝──＝ｔ-1/2 √ｔ ｄｙ １ ──＝－─ｔ-3/2 ｄｔ ２ したがって、 ｄｙ ｄｙ ｄｔ １ ──＝──・──＝－─ｔ-3/2・（２ｘ＋２） ｄｘ ｄｔ ｄｘ ２ ｘ＋１ ｘ＋１ ＝－───＝－─────────────── ……（答） ｔ√ｔ （ｘ2 ＋２ｘ）√（ｘ2 ＋２ｘ） ②商の微分の公式を使うと、 １ ｙ′＝｛────────｝′ √（ｘ2 ＋２ｘ） ｛√（ｘ2 ＋２ｘ）｝′ ＝－─────────── ｛√（ｘ2 ＋２ｘ）｝2 ２ｘ＋２ ───────── ２√（ｘ2 ＋２ｘ） ＝－──────────── （ｘ2 ＋２ｘ） ｘ＋１ ＝－─────────────── ……（答） （ｘ2 ＋２ｘ）√（ｘ2 ＋２ｘ） ③指数化して微分すると、 １ ｙ′＝｛────────｝′ √（ｘ2 ＋２ｘ） ＝｛（ｘ2 ＋２ｘ）-1/2｝′ １ ＝－─（ｘ2 ＋２ｘ）-3/2・（ｘ2 ＋２ｘ）′ ２ １ ＝－─（ｘ2 ＋２ｘ）-3/2・（２ｘ＋２） ２ ｘ＋１ ＝－─────────────── ……（答） （ｘ2 ＋２ｘ）√（ｘ2 ＋２ｘ）
お便り２００１／１／２６
from=文系学生
武田先生、失礼します。 質問＜354＞では合成関数の微分について教えてくださいましてありがと うございました。また合成関数の微分についてなのですけど、つまるところ、 合成関数の微分は、以下のような手順でやればいいのですか？ ① ｄｙ／ｄｘの、式ｙを文字ｔに置き換えて、それをｔで微分 ② ｔをｘで微分 ③ ①と②を掛け合わせる ④ 適当なところまで計算してまとめたら、ｔをｙに戻す たとえば、質問＜354＞で教えていただいたのと同じ問題でいうと、 ｙ＝1／√(ｘ[2乗]＋2ｘ)を合成関数の微分でやると、 ① √の中をｔと置いて、それをｔで微分 ② ｔとしたｘ[2乗]＋2ｘをｘで微分 ③ ①と②を掛け合わせる ④ 適当なところまで計算してまとめ、－(ｘ＋1／ｔ√ｔ)のｔを 元に戻して、 (ｘ＋1)／｛(ｘ[2乗]＋2ｘ)√(ｘ[2乗]＋2ｘ)｝・・・・・答え でいいのですか？ また、この問題のように式ｙが分数の形をしていても、ふつうの形をしていても、 通常、同じようにやってしまっていいのですか？
お返事２００１／１／２７
from=武田
合成関数の微分の手順は、それで良いと思いますが、そうなる理由も覚 えておいてください。 つまり、合成関数ｙ＝ｆ｛ｇ（ｘ）｝のとき ^^^^^^^^^^^^^^ ↑これは分数の形でも普通の形でも良い。 ｇ（ｘ）＝ｔとおくと、ｙ＝ｆ（ｔ）となるので、 ^^^^^^^ ↑ｔで置き換える ｄｙ ｄｙ ｄｔ ｄｆ ｄｇ ──＝──・──＝──・──＝ｆ′（ｔ）・ｇ′（ｘ） ｄｘ ｄｔ ｄｘ ｄｔ ｄｘ ^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^ ↑ ↑ ↑ｔをｘで微分 ｜ ｔで微分 ｜ 積 ＝ｆ′｛ｇ（ｘ）｝・ｇ′（ｘ） ^^^^^^^^^^^^^^^ ↑ｔを戻す どうでしょうか？手順はこれらのことからできているのです。