質問<354>2000/11/12
武田先生、失礼します。 合成関数の微分の問題で、「f(x)=1/√{x2乗+2x}をxで微分せよ」 というのがあるのですが、 この問題を解くときに、 1/√{x2乗+2x}=(√{x2乗+2x})-1乗=(x2乗+2x)-1/2乗 としてから、合成関数の微分の公式に当てはめると上手くいくのですが、 先に合成関数の微分の公式に当てはめて、 (1/√{x2乗+2x})'(x2乗+2x)' とすると、なんだかヘンになってしまうのですが、 これは上の方法で解くべきということなのですか?
お返事2000/11/12
from=武田
①合成関数の微分は次のようにやります。 1 y=──────── √(x2 +2x) √の中をtとおくと、 t=x2 +2x dt ──=2x+2 dx 1 y=──=t-1/2 √t dy 1 ──=-─t-3/2 dt 2 したがって、 dy dy dt 1 ──=──・──=-─t-3/2・(2x+2) dx dt dx 2 x+1 x+1 =-───=-─────────────── ……(答) t√t (x2 +2x)√(x2 +2x) ②商の微分の公式を使うと、 1 y′={────────}′ √(x2 +2x) {√(x2 +2x)}′ =-─────────── {√(x2 +2x)}2 2x+2 ───────── 2√(x2 +2x) =-──────────── (x2 +2x) x+1 =-─────────────── ……(答) (x2 +2x)√(x2 +2x) ③指数化して微分すると、 1 y′={────────}′ √(x2 +2x) ={(x2 +2x)-1/2}′ 1 =-─(x2 +2x)-3/2・(x2 +2x)′ 2 1 =-─(x2 +2x)-3/2・(2x+2) 2 x+1 =-─────────────── ……(答) (x2 +2x)√(x2 +2x)
お便り2001/1/26
from=文系学生
武田先生、失礼します。 質問<354>では合成関数の微分について教えてくださいましてありがと うございました。また合成関数の微分についてなのですけど、つまるところ、 合成関数の微分は、以下のような手順でやればいいのですか? ① dy/dxの、式yを文字tに置き換えて、それをtで微分 ② tをxで微分 ③ ①と②を掛け合わせる ④ 適当なところまで計算してまとめたら、tをyに戻す たとえば、質問<354>で教えていただいたのと同じ問題でいうと、 y=1/√(x[2乗]+2x)を合成関数の微分でやると、 ① √の中をtと置いて、それをtで微分 ② tとしたx[2乗]+2xをxで微分 ③ ①と②を掛け合わせる ④ 適当なところまで計算してまとめ、-(x+1/t√t)のtを 元に戻して、 (x+1)/{(x[2乗]+2x)√(x[2乗]+2x)}・・・・・答え でいいのですか? また、この問題のように式yが分数の形をしていても、ふつうの形をしていても、 通常、同じようにやってしまっていいのですか?
お返事2001/1/27
from=武田
合成関数の微分の手順は、それで良いと思いますが、そうなる理由も覚 えておいてください。 つまり、合成関数y=f{g(x)}のとき ^^^^^^^^^^^^^^ ↑これは分数の形でも普通の形でも良い。 g(x)=tとおくと、y=f(t)となるので、 ^^^^^^^ ↑tで置き換える dy dy dt df dg ──=──・──=──・──=f′(t)・g′(x) dx dt dx dt dx ^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^ ↑ ↑ ↑tをxで微分 | tで微分 | 積 =f′{g(x)}・g′(x) ^^^^^^^^^^^^^^^ ↑tを戻す どうでしょうか?手順はこれらのことからできているのです。