質問＜３５５４＞２００７／６／６
from=笑子
「有理数か無理数か」

(108)^1/3 は有理数か無理数か、
理由を述べて答えよ。

よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００７／６／７
from=UnderBird

108=2*2*3*3*3より
(108)^1/3=3*4^1/3
よって4^1/3 すなわち4の3乗根が有理数か無理数か調べればよい。
背理法で証明する。
4^1/3が有理数であると仮定する。
4^1/3=n/m とおく。　ただし、m,nは整数、m≠1、n/mは既約分数であるとする。
両辺3乗すると
n^3=4m^3 ・・・① となるから、n^3は偶数であり、nは偶数である。
そこで、n=2k（kは整数）とおき、①に代入整理すると
m^3=4k^3 であり、同様の議論でmは偶数である。
これは、n/mが既約であることに反する。
よって、4^1/3は無理数である。
すなわち、(108)^1/3 は無理数である。

お便り２００７／６／８
from=cqzypx