質問<3554>2007/6/6
(108)^1/3 は有理数か無理数か、 理由を述べて答えよ。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2007/6/7
from=UnderBird
108=2*2*3*3*3より (108)^1/3=3*4^1/3 よって4^1/3 すなわち4の3乗根が有理数か無理数か調べればよい。 背理法で証明する。 4^1/3が有理数であると仮定する。 4^1/3=n/m とおく。 ただし、m,nは整数、m≠1、n/mは既約分数であるとする。 両辺3乗すると n^3=4m^3 ・・・① となるから、n^3は偶数であり、nは偶数である。 そこで、n=2k(kは整数)とおき、①に代入整理すると m^3=4k^3 であり、同様の議論でmは偶数である。 これは、n/mが既約であることに反する。 よって、4^1/3は無理数である。 すなわち、(108)^1/3 は無理数である。
お便り2007/6/8
from=cqzypx