質問＜３５６５＞２００７／６／２０
from=みのる
「線形変換」

Ｖ＝Ｒ＾２の線形変換ｆに関して、
次の（イ）、（ロ）、（ハ）は同値であることを
（イ）⇒（ロ）⇒（ハ）⇒（イ）の順に証明せよ。

（イ）ｆは内積を不変にする。すなわち
　　　ｆ（ａ）・ｆ（ｂ）＝ａ・ｂ

（ロ）ｆはベクトルのノルムを不変にする。すなわち
　　　｜ｆ（ａ）｜＝｜ａ｜

（ハ）ｆに対応する行列Ａは直交行列。

全くわかりません。ご指導願います。

★希望★完全解答★

お便り２００７／６／２６
from=hugen

(1)　（イ）⇒（ロ）

|f(a)|＝√f(a)・f(a)＝√a・a＝|a|
   
(2)　（ロ）⇒（ハ）

A＝[f(e1) f(e2)]
行列Ａは直交行列　⇔　|f(e1)|＝|f(e2)|＝1  ,  f(e1)・f(e2)＝0
（ロ）　⇒　|f(e1)|＝|e1|＝1
（ロ）　⇒　|f(e1＋e2)|＝|e1＋e2|　　
f(e1＋e2)・f(e1＋e2)＝(e1＋e2)・(e1＋e2)
f(e1)・f(e1)＋2f(e1)・f(e2)＋f(e2)・f(e2)＝e1・e1＋2e1・e2＋e2・e2
|f(e1)|^2＋2f(e1)・f(e2)＋|f(e2)|^2＝|e1|^2＋0＋|e2|^2
|e1|^2＋2f(e1)・f(e2)＋|e2|^2＝|e1|^2＋0＋|e2|^2
f(e1)・f(e2)＝0
   
(3)　（ハ）⇒（イ）

行列Ａは直交行列　⇔　A'A＝E
f(a)・f(b)＝Aa・Ab＝(Aa)'Ab＝a'A'Ab＝a'Eb＝a・b

お便り２００７／６／２８
from=JUN*2

みのるさんの質問3565番の問題についてお尋ねします。
（イ）→（ハ）→（ロ）→（イ）の順に証明するにはどう書けばいいでしょうか？

お便り２００７／７／２１
from=hugen

  (1) （イ）→（ハ）
ｆ（ａ）・ｆ（ｂ）＝ａ・ｂ
(Aa)・(Ab)＝a・b
a'(A'A)b＝a'b
a'Bb＝a'b
a=(1,0)'  , b=(1,0)' 　を代入すると　b11=1
a=(1,0)'  , b=(0,1)' 　を代入すると　b12=0
a=(0,1)'  , b=(1,0)' 　を代入すると　b21=0
a=(0,1)'  , b=(0,1)' 　を代入すると　b22=1      ∴　B＝E
   
  (2) （ハ）→（ロ）
A'A＝E
|f(a)|＝√f(a)・f(a)＝√a'A'Aa＝√a'Ea＝√ａ・a＝|a|
   
  (3) （ロ）→（イ）
|f(a+b)|＝|a+b|
√f(a+b)・f(a+b)＝√(a+b)・(a+b)
f(a+b)・f(a+b)＝(a+b)・(a+b)
(f(a)+f(b))・(f(a)+f(b))＝(a+b)・(a+b)
f(a)・f(a)+f(a)・f(b)+f(b)・f(a)+f(b)・f(b)＝a・a+a・b+b・a+b・b
f(a)・f(b)＝a・b