質問<3565>2007/6/20
V=R^2の線形変換fに関して、 次の(イ)、(ロ)、(ハ)は同値であることを (イ)⇒(ロ)⇒(ハ)⇒(イ)の順に証明せよ。 (イ)fは内積を不変にする。すなわち f(a)・f(b)=a・b (ロ)fはベクトルのノルムを不変にする。すなわち |f(a)|=|a| (ハ)fに対応する行列Aは直交行列。 全くわかりません。ご指導願います。 ★希望★完全解答★
お便り2007/6/26
from=hugen
(1) (イ)⇒(ロ) |f(a)|=√f(a)・f(a)=√a・a=|a| (2) (ロ)⇒(ハ) A=[f(e1) f(e2)] 行列Aは直交行列 ⇔ |f(e1)|=|f(e2)|=1 , f(e1)・f(e2)=0 (ロ) ⇒ |f(e1)|=|e1|=1 (ロ) ⇒ |f(e1+e2)|=|e1+e2| f(e1+e2)・f(e1+e2)=(e1+e2)・(e1+e2) f(e1)・f(e1)+2f(e1)・f(e2)+f(e2)・f(e2)=e1・e1+2e1・e2+e2・e2 |f(e1)|^2+2f(e1)・f(e2)+|f(e2)|^2=|e1|^2+0+|e2|^2 |e1|^2+2f(e1)・f(e2)+|e2|^2=|e1|^2+0+|e2|^2 f(e1)・f(e2)=0 (3) (ハ)⇒(イ) 行列Aは直交行列 ⇔ A'A=E f(a)・f(b)=Aa・Ab=(Aa)'Ab=a'A'Ab=a'Eb=a・b
お便り2007/6/28
from=JUN*2
みのるさんの質問3565番の問題についてお尋ねします。 (イ)→(ハ)→(ロ)→(イ)の順に証明するにはどう書けばいいでしょうか?
お便り2007/7/21
from=hugen
(1) (イ)→(ハ) f(a)・f(b)=a・b (Aa)・(Ab)=a・b a'(A'A)b=a'b a'Bb=a'b a=(1,0)' , b=(1,0)' を代入すると b11=1 a=(1,0)' , b=(0,1)' を代入すると b12=0 a=(0,1)' , b=(1,0)' を代入すると b21=0 a=(0,1)' , b=(0,1)' を代入すると b22=1 ∴ B=E (2) (ハ)→(ロ) A'A=E |f(a)|=√f(a)・f(a)=√a'A'Aa=√a'Ea=√a・a=|a| (3) (ロ)→(イ) |f(a+b)|=|a+b| √f(a+b)・f(a+b)=√(a+b)・(a+b) f(a+b)・f(a+b)=(a+b)・(a+b) (f(a)+f(b))・(f(a)+f(b))=(a+b)・(a+b) f(a)・f(a)+f(a)・f(b)+f(b)・f(a)+f(b)・f(b)=a・a+a・b+b・a+b・b f(a)・f(b)=a・b