質問<3574>2007/6/28
次の問題についてお尋ねします。 1.円に内接する三角形のうち、面積が最大となるものを求めよ。 2.円に内接する四角形のうち、面積が最大となるものを求めよ。 3.円に内接するn角形のうち、面積が最大となるものを求めよ。 正多角形になるのはなんとなくわかりますが、どう式にかけばいいのかわかりません。 よろしくお願いいたします。 ★希望★完全解答★
お便り2007/8/21
from=toshi
まず、条件付極値の知識を持っているとして説明させていただきます。 表記方法はtexです。 円の半径を適当に取ることによって、内接する三角形の面積Sは S=\sin { \alpha } + \sin{ \beta } + \sin{ \gamma} とかける。ここで三角形である条件から、\alpha + \beta + \gamma - \pi = 0 よって、ラグランジュの未定乗数法から S^{\prime }( \alpha , \beta , \gamma , \lambda ) = \sin { \alpha } + \sin{ \beta } + \sin{ \gamma} - \lambda (\alpha + \beta + \gamma -\pi) の最大値をもとめる問題と同等になる。 これから、 \sin { \alpha } =\sin { \beta } =\sin { \gamma } = \lambda となる。 よって、\alpha = \beta = \gamma と求まる。 \because \alpha < \pi 2.これを拡張していくだけ 3.同上 http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/090ksk.htmlを参照してください。