質問<3602>2007/9/8
f(x)=(e^x-e^-x)/2は(-∞、∞)で狭義単調増加な連続関数であることを示せ。 次に、この関数の逆関数を求めよ。 この問題についてどなたか教えてください。よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2007/9/10
from=UnderBird
e^x, e^(-x)は(-∞、∞)で明らかに連続関数であり、連続関数同士の+-×÷も連続 関数より f(x)=(e^x-e^-x)/2は(-∞、∞)で連続。また、f’(x)=(e^x+e^-x)/2≧1>0より、狭 義単調増加関数。 e^x=tとおき、t>0に注意してy=(t+1/t)/2をtについて解くと、t=y+√(y^2-1) すなわち、e^x=y+√(y^2-1)の両辺の対数をとれば、 x=log{y+√(y^2-1)}であるから、f(x)の逆関数はx,yをいれかえて y=log{x+√(x^2-1)}