質問＜３６０２＞２００７／９／８
from=GT
「解析学」

f(x)=(e^x-e^-x)/2は(-∞、∞)で狭義単調増加な連続関数であることを示せ。
　次に、この関数の逆関数を求めよ。

　この問題についてどなたか教えてください。よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００７／９／１０
from=UnderBird

e^x, e^(-x)は(-∞、∞)で明らかに連続関数であり、連続関数同士の＋－×÷も連続
関数より
f(x)=(e^x-e^-x)/2は(-∞、∞)で連続。また、f’(x)=(e^x+e^-x)/2≧1＞0より、狭
義単調増加関数。
e^x=tとおき、t>0に注意してy=(t+1/t)/2をtについて解くと、t=y+√(y^2-1)
すなわち、e^x=y+√(y^2-1)の両辺の対数をとれば、
x=log{y+√(y^2-1)}であるから、f(x)の逆関数はx,yをいれかえて
y=log{x+√(x^2-1)}