質問<3694>2008/3/23
a,bは|a|+|b|<1をみたす実数とする。 f(x)=x^2+ax+bとする。 f(x)=0が実数解をもつとき,その絶対値は1より 小さいことを示せ。 本当にいつもお世話になっています。上記の問題を 教えて下さい。宜しくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2008/4/26
from=平 昭
こんにちは。ちょっと力押しですが、解をa,bで表して、 その絶対値が1以下である事を示す方針で行きます。 なお、この回答限定で、「←→」を、同値を意味する記号として使います。 「|a|+|b|<1」 ←→「-1<a+b<1 かつ -1<a-b<1 」 である。(これは、グラフを描いてみれば分かる。) だから結局、 「-1<a+b<1かつ-1<a-b<1 」かつ「a^2-4b≧0」 ならば 「-1<{-a+√(a^2-4b)}/2<1 かつ-1<{-a-√(a^2-4b)}/2<1」 を示せばよい。 ここで、f(x)=0の2解の大小関係を考えれば、示すべき不等式は、 -2<-a-√(a^2-4b)と-a+√(a^2-4b)<2である そして -2<-a-√(a^2-4b) ←→√(a^2-4b)<2-a ←→a^2-4b<(2-a)^2 (|a|<1ですから、2-a>0です) ←→ a-b<1 これは与えられた条件である。 また -a+√(a^2-4b)<2 ←→a+b>-1 (計算は省略します) で、これも与えられた条件である。 証明終わり。