質問＜３６９４＞２００８／３／２３
from=小豆
「関数」

ａ，ｂは｜ａ｜＋｜ｂ｜＜１をみたす実数とする。
ｆ(ｘ)＝ｘ^2+ax+bとする。
ｆ(ｘ)＝０が実数解をもつとき,その絶対値は１より
小さいことを示せ。

本当にいつもお世話になっています。上記の問題を
教えて下さい。宜しくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００８／４／２６
from=平　昭

　こんにちは。ちょっと力押しですが、解をa,bで表して、
その絶対値が１以下である事を示す方針で行きます。
なお、この回答限定で、「←→」を、同値を意味する記号として使います。

　　「｜ａ｜＋｜ｂ｜＜１」
←→「-1＜ａ＋ｂ＜１　かつ　-１＜ａ－ｂ＜1 」
である。（これは、グラフを描いてみれば分かる。）
だから結局、

「-1＜ａ＋ｂ＜１かつ-１＜ａ－ｂ＜1 」かつ「a^2－4b≧０」
ならば
「-1＜{-ａ＋√(a^2－4b)}/2＜１ かつ-1＜{-ａ－√(a^2－4b)}/2＜１」
を示せばよい。
　ここで、ｆ(ｘ)＝０の２解の大小関係を考えれば、示すべき不等式は、
-2＜-ａ-√(a^2－4b)と-ａ＋√(a^2－4b)＜2である

　そして
　　-2＜-ａ-√(a^2－4b)
←→√(a^2－4b)＜2－ａ
←→a^2－4b＜(2－ａ)^2  (｜ａ｜＜１ですから、2-a＞０です）
←→    a-b＜1  　これは与えられた条件である。
　また
　　-ａ＋√(a^2－4b)＜2
←→ａ＋ｂ＞-1　（計算は省略します）
　で、これも与えられた条件である。

証明終わり。