質問＜３７１０＞２００８／４／２５
from=ミノル
「微分方程式」

ｙ″－２ｙ′＋ｙ＝ｘ＾２＋２ｅ＾（３ｘ）　
の解法のヒントを教えて下さい。
定石があるとおもうのですが、できればＬＡＴＥＸ版以外でご指導下さい。

★希望★完全解答★

お便り２００８／５／６
from=phaos

D^2 - 2D + 1 = 0
と置くと
D = 1 (重解) なので
斉次解は y = (C_1 x + C_2)e^x.

よって y = (C_1 x + C_2)e^x + ax^2 + bx + c + de^(3x) と置くと
y'' - 2y' + y = ax^2 + (b - 4a)x + (2a - 2b + c) + 4de^(3x)
元の式と比較して a = 1, b = 4, c = 6, d = 1/2 を得る。
従って,
y = (C_1 x + C_2)e^x + x^2 + 4x + 6 + (1/2)e^(3x).

尚, 演算子法の公式を用いれば直ちに解が出るのだが,
適当な web page がなかったので省略する。