質問＜３７５４＞２００９／７／１５
from=ppp
「重積分」

∬xdxdy　｛（x、y）：x＾2+y＾2≦1、x≧0、y≧0｝

★希望★完全解答★

お便り２００９／７／２９
from=phaos

[解 1]
積分領域が四分円なので, 極座標変換します。 即ち
x = r cosθ, y = r sinθ, 0 < r ≦ 1, 0 ≦ θ ≦ π/2. 
Jacobian  は ∂(x, y)/ ∂(r, θ) = r なので, 
与式 = ∫_(0 < r ≦ 1, 0 ≦ θ ≦ π/2) r^2 cosθdr dθ
= [r^3/3]_0^1[sinθ]_0^(π/2) = 1/3. 

[解 2]
与式 = ∫_(y = 0)^1∫_(x = 0)^(√(1 - y^2)) x dx dy
= ∫_(y = 0)^1 [x^2/2]_(x = 0)^(√(1 - y^2)) dy
= (1/2) ∫_(y = 0)^1 (1 - y^2) dy
= (1/2) [y - y^3/3]_0^1
= (1/2)(2/3) = 1/3.