質問<3755>2009/7/30
D={x^2+y^2≦y}とするとき,次の二重積分を計算せよ. I=∬_D(√y)dxdy Dの範囲をx^2+(y-1/2)^2≦1/4と変換し, x=rcosθ, y=rsinθ+1/2と表し, 範囲を0≦r≦1/2,0≦θ≦2πとして解こうとしたのですがうまくいきませんでした。 分かる方がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2009/7/31
from=phaos
被積分関数は x に依存しないので, 簡単の為に, 積分領域 D の y 軸に関する対称性を使って I = 2∫_(D∩{(x, y)| x ≧ 0}) (√y)dxdy とする。 I = 2∫_(y = 0)1 (√y)∫_(x = 0)^√(y - y2) dx dy = 2∫_01 (√y)√(y - y2) dy = 2∫_01 y√(1 - y) dy = 2∫_01 y d(-(2/3)(1 - y)^(3/2)) = 2([-(2/3)(1 - y)^(3/2)]_01 - ∫_01 (-(2/3)(1 - y)^(3/2)) dy) = (4/3)∫_01 (1 - y)^(3/2)) dy = (4/3)・(-2/5)[(1 - y)^(5/2)]_01 = -(8/15)・(0 - 1) = 8/15.