質問＜３７５５＞２００９／７／３０
from=benkyoutyuu
「二重積分」

D={x^2+y^2≦y}とするとき,次の二重積分を計算せよ．
I=∬_D(√y)dxdy
Dの範囲をx^2+(y-1/2)^2≦1/4と変換し，
x=rcosθ, y=rsinθ+1/2と表し，
範囲を0≦r≦1/2,0≦θ≦2πとして解こうとしたのですがうまくいきませんでした。
分かる方がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００９／７／３１
from=phaos

被積分関数は x に依存しないので, 簡単の為に, 積分領域 D の y 軸に関する対称性を使って
I = 2∫_(D∩{(x, y)| x ≧ 0}) (√y)dxdy
とする。
I = 2∫_(y = 0)1 (√y)∫_(x = 0)^√(y - y2) dx dy
= 2∫_01 (√y)√(y - y2) dy
= 2∫_01 y√(1 - y) dy
= 2∫_01 y d(-(2/3)(1 - y)^(3/2))
= 2([-(2/3)(1 - y)^(3/2)]_01 - ∫_01 (-(2/3)(1 - y)^(3/2)) dy)
= (4/3)∫_01 (1 - y)^(3/2)) dy
= (4/3)・(-2/5)[(1 - y)^(5/2)]_01
= -(8/15)・(0 - 1) = 8/15.