質問＜３７６９＞２０１０／１／１４
from=σ(・ε・`●)
「数３、微分応用、面積の最大値」

長さ２ａの線分ＡＢを
直径とする台形ＡＢＣＤの面積Ｓの最大値は？

★希望★完全解答★

お返事２０１０／７／２８
from=ましゃ１４５３

台形の上底を 2ax (0＜x＜1) とすると，高さは a√(1-x^2) となり，
面積は、S(x)＝1/2･a√(1-x^2)(2a+2ax)=a^2｛x√(1-x^2)+√(1-x^2)｝. 

微分して，S'（x）=a^2（1-x-2x^2）/√（1-x^2）=-a^2（2x-1）（x+1）/√（1-x^2）

よって，x=a/2 のとき S（x）は極大かつ最大となり，最大値は 3√3/4･a^2．

＜別解＞
上底の片方の頂点と，半円の中心を結び，下底とのなす角をθ（0°＜θ＜90°）とする．
上底が 2acosθ，高さが asinθ と表せて，
S（θ）＝1/2･（2acosθ+2a）asinθ＝a^2{1/2･sin（2θ）+sinθ}．
微分して，S'（θ）＝a^2（2cosθ-1）（cosθ+1）
よって，θ=60°で極大かつ最大となる．

※増減表は省略しました。
（某教科書の例題にあったと思います。余談ですが。）