質問<3769>2010/1/14
長さ2aの線分ABを 直径とする台形ABCDの面積Sの最大値は? ★希望★完全解答★
お返事2010/7/28
from=ましゃ1453
台形の上底を 2ax (0<x<1) とすると,高さは a√(1-x^2) となり, 面積は、S(x)=1/2・a√(1-x^2)(2a+2ax)=a^2{x√(1-x^2)+√(1-x^2)}. 微分して,S'(x)=a^2(1-x-2x^2)/√(1-x^2)=-a^2(2x-1)(x+1)/√(1-x^2) よって,x=a/2 のとき S(x)は極大かつ最大となり,最大値は 3√3/4・a^2. <別解> 上底の片方の頂点と,半円の中心を結び,下底とのなす角をθ(0°<θ<90°)とする. 上底が 2acosθ,高さが asinθ と表せて, S(θ)=1/2・(2acosθ+2a)asinθ=a^2{1/2・sin(2θ)+sinθ}. 微分して,S'(θ)=a^2(2cosθ-1)(cosθ+1) よって,θ=60°で極大かつ最大となる. ※増減表は省略しました。 (某教科書の例題にあったと思います。余談ですが。)