質問<3772>2010/2/12
y”-y=e∧x+cosx 色々例題を探しましたがみつかりませんでした。 教えて下さい。 ★希望★完全解答★
お便り2010/2/16
from=phaos
未定係数法や, 演算子法もあるけれど, こう考えてはどうですか。 y'' - y = y'' - y' + y' - y = #y' - y#' + #y' - y# = e^x + cos x #e^x##y' - y#' + #e^x##y' - y# = e^#2x# + #e^x#cos x ##e^x##y' - y##' = e^#2x# + #e^x#cos x #e^x##y' - y# = #1/2##e^#2x# + #e^x##sin x + cos x## - 2C_1 y' - y = #1/2###e^x# + sin x + cos x# - 2#C_1#e^#-x## #e^#-x##y' - #e^#-x##y = 1/2 + #1/2##e^#-x###sin x + cos x# - 2#C_1#e^#-2x# ##e^#-x##y#' = 1/2 + #1/2##e^#-x###sin x + cos x# - 2#C_1#e^#-2x# #e^#-x##y = #1/2#x - #1/2##e^#-x##cos x + #C_1#e^#-2x# + C_2 y = #1/2#x#e^x# - #1/2#cos x + #C_1#e^#-x# + #C_2##e^x# #ここ http://phaos.hp.infoseek.co.jp/int2/byparts.htm の例の #7# も参照のこと。#
お便り2010/2/18
from=南無三
いつもありがとうございます。 ところで回答の#の記号は初めて見ましたが どういう意味でしょうか。
お便り2010/2/20
from=phaos
すいません, 文字化けしていますね。 #は ( か ) かどっちかです。 何度やっても文字化けするみたいなので, こちら http://star.ap.teacup.com/phaos/88.htmlをどうぞ。 (武田:修正しました。) 未定係数法や, 演算子法もあるけれど, こう考えてはどうですか。 y'' - y = y'' - y' + y' - y = (y' - y)' + (y' - y) = e^x + cos x (e^x)(y' - y)' + (e^x)(y' - y) = e^(2x) + (e^x)cos x {(e^x)(y' - y)}' = e^(2x) + (e^x)cos x (e^x)(y' - y) = (1/2){e^(2x) + (e^x)(sin x + cos x)} - 2C_1 y' - y = (1/2){(e^x) + sin x + cos x} - 2C_1{e^(-x)} {e^(-x)}y' - {e^(-x)}y = 1/2 + (1/2){e^(-x)}(sin x + cos x) - 2C_1{e^(-2x)} [e^(-x)}y]' = 1/2 + (1/2){e^(-x)}(sin x + cos x) - 2C_1{e^(-2x)} {e^(-x)}y = (1/2)x - (1/2){e^(-x)}cos x + C_1{e^(-2x)} + C_2 ∴y = (1/2)x(e^x) - (1/2)cos x + C_1{e^(-x)} + C_2(e^x) ※ここ http://phaos.hp.infoseek.co.jp/int2/byparts.htm の例の (7) も参照のこと。