質問<3779>2010/03/18
平面α:4x-y-z=6,直線l:1-x=y+1=(z-2)/4 があるとき、 直線lを含み、平面αとのなす角が45°となる平面の方程式を求めよ。 ★希望★完全解答★
お便り2010/3/18
from=phaos
先ず, 直線 l を 1 - x = y + 1, y + 1 = (z - 2)/4 という二つの平面に分解する。 書き換えると x + y = 0, 4y - z + 6 = 0 である。 平面 x + y = 0 と α は 45°の角度ではない (実際は 30°) ので, pencil (x + y) + t(4y - z + 6) = 0 を考える。 書き換えると x + (1 + 4t)y - tz + 6t = 0 である。 これの法線 vector は (1, 1 + 4t, -t), α の法線 vector は (4 , -1, -1) だから, これらが 45°を成すとすれば (1 - t)/((√2)√(17t^2 + 8t + 2)) = 1/√2. 従って 1 - t = √(17t^2 + 8t + 2), t ≦ 1. t^2 - 2t + 1 = 17t^2 + 8t + 2 16t^2 + 10t + 1 = 0 (2t + 1)(8t + 1) = 0. 故に t = -1/2, -1/8. (適) t = -1/2 の時 2x - 2y + z - 6 = 0. t = -1/8 の時 8x + 4y + z - 6 = 0.