質問＜３７７９＞２０１０／０３／１８
from=sin
「ベクトル直線と平面の方程式」

平面α：４ｘ－ｙ－ｚ＝６，直線l：１－ｘ＝ｙ＋１＝（ｚ－２）／４　があるとき、
直線lを含み、平面αとのなす角が４５°となる平面の方程式を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２０１０／３／１８
from=phaos

先ず, 直線 l を
1 - x = y + 1,
y + 1 = (z - 2)/4
という二つの平面に分解する。
書き換えると
x + y = 0,
4y - z + 6 = 0
である。
平面 x + y = 0 と α は 45°の角度ではない (実際は 30°) ので, pencil
(x + y) + t(4y - z + 6) = 0
を考える。 書き換えると
x + (1 + 4t)y - tz + 6t = 0
である。 これの法線 vector は (1, 1 + 4t, -t), α の法線 vector は (4 , -1, -1) だから, 
これらが 45°を成すとすれば
(1 - t)/((√2)√(17t^2 + 8t + 2)) = 1/√2. 
従って
1 - t = √(17t^2 + 8t + 2), t ≦ 1. 
t^2 - 2t + 1 = 17t^2 + 8t + 2
16t^2 + 10t + 1 = 0
(2t + 1)(8t + 1) = 0. 
故に t = -1/2, -1/8. (適)
t = -1/2 の時 2x - 2y + z - 6 = 0. 
t = -1/8 の時 8x + 4y + z - 6 = 0.