質問＜３７９９＞２０１０／８／１２
from=悟
「領域」

ｘ２乗＋３ｙ≧１２、ｘ２乗＋ｙ２乗－６ｘ－６ｙ＋８≦０の時
ｘ２乗＋ｙ２乗の最大・最小がわかりません。教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２０１０／８／１６
from=phaos

Maxima で draw(gr2d(ellipse(3,3,sqrt(10),sqrt(10),0,360),explicit(-x^2/3+4,x,-4,4))); とでも
やって graph を描かせてみると分かるように, 領域は放物線の上側, 円の内側になっている。
この円は (0, 4) を通っていて, z = x^2 + y^2 と置くと, ここでは z = 16. (因みにもう一つの交点
の x 座標は (sqrt(730)+27)^(1/3)-1/(sqrt(730)+27)^(1/3) となるらしいが, 
明らかにこの点は (0, 4) より遠い)

放物線に接する時, x^2 = 12 - 3y として代入すると,
y^2 - 3y + 12 - z = 0. 
(y に関し) 判別式を採って, D = 9 - 4(12 - z) = 4z - 39 = 0 より
 z = 39/4 (= 9.75 < 16). (この時 y = 3/2 なので適)

一方, 
x^2 + y^2 - 6x - 6y + 8 = 0 に z = x^2 + y^2 を代入すると -6x - 6y + 8 + z = 0. 
即ち y = (-6x + 8 + z)/6. これを z = x^2 + y^2 に代入して, (x に関し) 判別式を採り, 
D/4 = -36(z^2 - 56z + 64) = 0. 
（赤字部分を訂正しました。）
解くと z = 28 ± 12√5. 明らかに複号が - の方は, 原点に近い方で接しているので, + の方。
従って, 39/4 ≦ z ≦ 28 + 12√5.