質問＜３８００＞２０１０／８／１２
from=マル
「対数」

log5(x)+log5(Y)=log25(25x^2+10xy+y^2)を満たすｘ,y
の組を二組挙げよ、という問題の解き方がわかりません。教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２０１０／８／１６
from=下野哲史

いつもそうですが、問題は正しく書いてください。

「自然数 x,y の組を２組求めよ」ですよね。
そうでないと解けません！！

log_(25)x^2y^2=log25(25x^2+10xy+y^2)

x^2y^2=25x^2+10xy+y^2
(5x+y)^2-(xy)^2=0
(5x+y+xy)(5x+y-xy)=0

xy+5x+y=0 の場合
　xy+5x+y+5=5
　(x+1)(y+5)=5
　条件をみたす (x,y) はない
xy-5x-y=0 の場合
　xy-5x-y+5=5
　(x-1)(y-5)=5
　(x-1,y-5)=(1,5),(5,1)
　(x,y)=(2,10)(6,6)

お便り２０１０／８／１６
from=phaos

対数法則と底の変換公式を用いて
log_5(xy) = (1/2)log_5(25x^2 + 10xy + y^2)
2log_5(xy) = log_5(25x^2 + 10xy + y^2)
log_5(xy)^2 = log_5(25x^2 + 10xy + y^2)
(xy)^2 = 25x^2 + 10xy + y^2
(25 - y^2)x2 + 10xy + y^2 = 0. 
ここで y = ±5 の時は, ±50x + 25 = 0 だから x = -(±1/2). 
真数条件から x > 0, y > 0, 5x + y ≠ 0 だから不適。
従って, 解の公式を用いて
x = (-5y ± y^2)/(25 - y^2). 
真数条件と併せて考えて, 適当な値を代入してみれば良い。