質問＜３８２３＞２０１１／８／２５
from=うーたま
「五心」

重心と内心が一致すれば正三角形であることを証明してください。
テキストの答えは部分部分省略され、正しくない、と教官に言われ、
自分なりに頑張っているのですが、全く解けません。
丁寧に証明して頂けると幸いです。
明後日学校で時間がないのでできれば早急に願います。

★希望★完全解答★

お便り２０１１／１０／２５
from=wakky

重心と内心が一致→正三角形

△ABCについて、重心かつ内心をPとします。
また、直線APと辺BCとの交点をDとします。
Pは内心だから
∠BAP=∠CAPすなわち∠BAD=∠CAD
つまり、
直線ADは∠Aの二等分線となるから
BD：DC=AB：AC
また、Pは重心であるから
BD=CDすなわちBD：DC=1:1
同様に
AB:BC=1:1となり
AB:BC:CA=1:1:1
すなわち
AB=BC=CA
よって
△ABCは正三角形