質問＜３８２７＞２０１１／１１／１５
from=Tom
「球に内接する円柱の表面積」

球の半径がrで、内接する円柱の表面積が最大の時、表面積を求めなさい。
途中の計算がややこしく、上手く解けません。rの扱い方に困っています。よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２０１１／１１／１７
お便り２０１１／１１／１８一部変更
from=wakky

半径rの円の中心をO
この円に内接する長方形ABCDを考えます。
∠OBC=θ(0＜θ＜π/2)とすると
辺BCを直径とする円の半径は
rcosθ
したがって円柱の円部分の面積は
2πr^2cos^2θ
ABの長さは
2rsinθ
辺BCを直径とする円の円周の長さは
2πrcosθ
したがって円柱の側面積は
2rsinθ×2πrcosθ
=4πr^2sinθcosθ
以上から円柱の表面積Sは
S=r^2cos^2θ+4πr^2sinθcosθ
=2πr^2(cos^2θ+2sinθcosθ）
cos^2θ=(1+cosθ)/2
2sinθcosθ=sin2θ
を利用して整理すると

S=2πr^2{(1/2)+(1/2)cos2θ+sin2θ}

合成して
S=2πr^2{(1/2)+(√5/2)sin(2θ+α)}
ただし、sinα=1/√5,cosα=2/√5
0＜θ＜π/2より
0＜2θ＜π
また、sinα=1/√5で、1/√5＜1/2だから
0＜α＜π/6
よって
0＜2θ+α＜7π/6
2θ+α=π/2のときSは最大となり
このとき
S=2πr^2{(1/2)+(√5/2)}
=(1+√5)πr^2・・・（答）
計算間違いはご容赦を