質問<3827>2011/11/15
球の半径がrで、内接する円柱の表面積が最大の時、表面積を求めなさい。 途中の計算がややこしく、上手く解けません。rの扱い方に困っています。よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2011/11/17
お便り2011/11/18一部変更
from=wakky
半径rの円の中心をO この円に内接する長方形ABCDを考えます。 ∠OBC=θ(0<θ<π/2)とすると 辺BCを直径とする円の半径は rcosθ したがって円柱の円部分の面積は 2πr^2cos^2θ ABの長さは 2rsinθ 辺BCを直径とする円の円周の長さは 2πrcosθ したがって円柱の側面積は 2rsinθ×2πrcosθ =4πr^2sinθcosθ 以上から円柱の表面積Sは S=r^2cos^2θ+4πr^2sinθcosθ =2πr^2(cos^2θ+2sinθcosθ) cos^2θ=(1+cosθ)/2 2sinθcosθ=sin2θ を利用して整理すると S=2πr^2{(1/2)+(1/2)cos2θ+sin2θ} 合成して S=2πr^2{(1/2)+(√5/2)sin(2θ+α)} ただし、sinα=1/√5,cosα=2/√5 0<θ<π/2より 0<2θ<π また、sinα=1/√5で、1/√5<1/2だから 0<α<π/6 よって 0<2θ+α<7π/6 2θ+α=π/2のときSは最大となり このとき S=2πr^2{(1/2)+(√5/2)} =(1+√5)πr^2・・・(答) 計算間違いはご容赦を