質問


(1)∫1/(1＋x^2)^2 dx
(2)∫1/x√x^2-1 dx
この二問がわからなくて困っています。
数学があまり得意ではないので、できるだけ細かく説明していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お返事２０１２／６／１２
from=武田

両方とも置換積分で行います。
（１）ｘ＝ｔａｎθとおくと、
与式Ｐ＝

　　　　　１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　θ　　　１
∫―――――――――ｄｘ＝∫（ｃｏｓθ）^2　ｄθ＝―　＋　―ｓｉｎ２θ　＋Ｃ
　　（１＋ｘ^2）^2　　　　　　　　　　　　　　　　２　　　４

元に戻して、

　　１　　　-1　　　　１　　２ｘ
Ｐ＝―ｔａｎ　ｘ　＋　―・――――　＋Ｃ
　　２　　　　　　　　４　１＋ｘ^2

　　　　　↑　　　　　　　　　↑
　　　アークタンジェント　　　２で約分をすること

（武田談：ヒントを下に、頑張って最後までたどり着いてください。）

（２）ｔ＝√（ｘ^2－１）とおくと、
与式Ｐ＝

　　　　１　　　　　　　　　　１
∫――――――――ｄｘ＝∫―――――ｄｔ
　ｘ√（ｘ^2－１）　　　　１＋ｔ^2

再び、ｔ＝ｔａｎθとおくと、

与式Ｐ＝∫ｄθ＝θ＋Ｃ

　　　　　　　-1
　　　＝ｔａｎ　ｔ　＋Ｃ
　　　　　　　↑
　　　　　アークタンジェント
　　　　　　　↓
　　　　　　　-1
　　　＝ｔａｎ　√（ｘ^2－１）　＋Ｃ

（武田談：こちらも、ヒントを下に、頑張って最後までたどり着いてください。）