質問<384>2000/12/30
(1) 方程式X^x+y=Y^3 -①、Y^x+y=X^3 -②を同時に満たすX、Yの値を、 それぞれ求めよ。ただし、X>0、Y>0、X≒0、Y≒0 という問題で、与えられた方程式の各辺に常用対数をとって 計算していくと、 X>0、Y>0であるから、log10のXーlog10のY=0 ∴X=Y という部分が出で来るのですが、ココの部分の理由が良くわかりません。 (2) X^3-X^2-8X+8≦0 →(X-1)(X^2-8)≦0と因数分解する時の、 考え方を教えて下さい。 (3) α+β+λ=βλ+λα+αβ →(α-1)(β-1)(λ-1)=0 の考え方も教えて下さい。 よろしくお願いします!!
お返事2000/12/30
from=武田
問1 {xx+y=y3 ……① {yx+y=x3 ……② ①②の両辺に、log10をつけると、 (x+y)・log10x=3・log10y (x+y)・log10y=3・log10x 上から下を引くと、 (x+y)(log10x-log10y)=3(log10y-log10x) (x+y+3)(log10x-log10y)=0 x>0,y>0より、 x+y+3>0だから、log10x-log10y=0 log10x=log10y 両辺からlog10をとると、 ∴x=y ①に代入して、 x2x=x3 指数を見比べて、 2x=3 3 ∴x=─ ……(答) 2 問2 x3 -x2 -8x+8≦0 x2 (x-1)-8(x-1)≦0 (x-1)(x2 -8)≦0 (x-1)(x-2√2)(x+2√2)≦0 |…|-2√2|…|1|…|2√2|… ─────┼─┼────┼─┼─┼─┼───┼─ x-1 |-| - |-|0|+| + |+ ─────┼─┼────┼─┼─┼─┼───┼─ x-2√2|-| - |-|-|-| 0 |+ ─────┼─┼────┼─┼─┼─┼───┼─ x+2√2|-| 0 |+|+|+| + |+ ─────┼─┼────┼─┼─┼─┼───┼─ |-| 0 |+|0|-| 0 |+ したがって、ゼロまたは負になるxの範囲は x≦-2√2または1≦x≦2√2 ……(答) 問3 (α-1)(β-1)(λ-1)=0を展開すると、 αβλ-λα-βλ+λ-αβ+α+β-1=0 αβλ-λα-βλ-αβ+λ+α+β-1=0 条件のα+β+λ=βλ+λα+αβより、 αβλ-λα-βλ-αβ+βλ+λα+αβ-1=0 αβλ-1=0 ∴αβλ=1←これが与式が成り立つための条件となる。……(答)