質問＜３８４＞２０００／１２／３０
from=かず
「指数・対数関数」

（１）
方程式X^x+y=Y^3 -①、Y^x+y=X^3 -②を同時に満たすX、Yの値を、
それぞれ求めよ。ただし、X＞0、Y＞0、X≒0、Y≒0
という問題で、与えられた方程式の各辺に常用対数をとって
計算していくと、
X＞0、Y＞0であるから、log10のXーlog10のY＝0　∴X＝Y
という部分が出で来るのですが、ココの部分の理由が良くわかりません。

（２）
X^3-X^2-8X+8≦0 →(X-1)(X^2-8)≦0と因数分解する時の、
考え方を教えて下さい。

（３）
α+β＋λ＝βλ+λα+αβ →(α-１)(β-１)(λ-１)＝0
の考え方も教えて下さい。

よろしくお願いします！！

お返事２０００／１２／３０
from=武田

問１
｛ｘx+y＝ｙ3 ……①
｛ｙx+y＝ｘ3 ……②
①②の両辺に、ｌｏｇ10をつけると、
（ｘ＋ｙ）・ｌｏｇ10ｘ＝３・ｌｏｇ10ｙ
（ｘ＋ｙ）・ｌｏｇ10ｙ＝３・ｌｏｇ10ｘ
上から下を引くと、
（ｘ＋ｙ）（ｌｏｇ10ｘ－ｌｏｇ10ｙ）＝３（ｌｏｇ10ｙ－ｌｏｇ10ｘ）
（ｘ＋ｙ＋３）（ｌｏｇ10ｘ－ｌｏｇ10ｙ）＝０
ｘ＞０，ｙ＞０より、
ｘ＋ｙ＋３＞０だから、ｌｏｇ10ｘ－ｌｏｇ10ｙ＝０
ｌｏｇ10ｘ＝ｌｏｇ10ｙ
両辺からｌｏｇ10をとると、
∴ｘ＝ｙ
①に代入して、
ｘ2x＝ｘ3 
指数を見比べて、
２ｘ＝３
　　　３
∴ｘ＝─　……（答）
　　　２

問２
ｘ3 －ｘ2 －８ｘ＋８≦０
ｘ2 （ｘ－１）－８（ｘ－１）≦０
（ｘ－１）（ｘ2 －８）≦０
（ｘ－１）（ｘ－２√２）（ｘ＋２√２）≦０

　　　　　｜…｜－２√２｜…｜１｜…｜２√２｜…
─────┼─┼────┼─┼─┼─┼───┼─
ｘ－１　　｜－｜　　－　｜－｜０｜＋｜　＋　｜＋
─────┼─┼────┼─┼─┼─┼───┼─
ｘ－２√２｜－｜　　－　｜－｜－｜－｜　０　｜＋
─────┼─┼────┼─┼─┼─┼───┼─
ｘ＋２√２｜－｜　　０　｜＋｜＋｜＋｜　＋　｜＋
─────┼─┼────┼─┼─┼─┼───┼─
　　　　　｜－｜　　０　｜＋｜０｜－｜　０　｜＋
したがって、ゼロまたは負になるｘの範囲は
ｘ≦－２√２または１≦ｘ≦２√２　……（答）

問３
（α－１）（β－１）（λ－１）＝０を展開すると、
αβλ－λα－βλ＋λ－αβ＋α＋β－１＝０
αβλ－λα－βλ－αβ＋λ＋α＋β－１＝０
条件のα＋β＋λ＝βλ＋λα＋αβより、
αβλ－λα－βλ－αβ＋βλ＋λα＋αβ－１＝０
αβλ－１＝０
∴αβλ＝１←これが与式が成り立つための条件となる。……（答）