質問

その頂点が直線y=2x上にあり、直線y=－2xに接しながら移動する放物線y=ax^2+bx+cがある
(1)頂点のx座標αを用いて、この放物線の方程式を書き直せ
(2)この放物線が通りうる範囲を図示せよ
先生にあてられて困ってます助けてください

★希望★完全解答★

お便り２０１３／１／８
from=平　昭

　こんばんは。（２）が本題ですが、ちょっと面倒ですね。こういう時は「αを動かしたら、
ｘやｙはどう変わるか」を考えてみる必要があります。では、解答です。

　（１）放物線の頂点のx座標をαとすると、頂点はy=2x上にあるから、頂点のｙ座標は２α。
　よって、放物線の方程式は、２次の係数がａであるから
　y=a(x-α)^2＋2α
と表せる。
　これが直線　y=－2xに接するので

方程式　
　a(x-α)^2＋2α＝－2x
は重解を持つ。この時、判別式＝０より
　ａ＝１／４αとなる。
（なお、α＝０の場合、放物線は、頂点である原点で直線　y=－2xと交わるため、
ａの値によらず重解を持たないことは明らかである。）

　よって、求める放物線の方程式は

　y=（1/4α）(x-α)^2＋2α　と表せる。

（２）

　y=（1/4α）(x-α)^2＋2αにおいて、

ｘを一つ固定し、αを変化させた場合、（←これがポイントです。）

ｙがどのような値を取り得るかを考える。なお、αは０でないとする。

　αに着目して式を書き直すと

y=（1/4）(9α＋ｘ^2／α)－x/2

　ここでまず、α＞０の場合を考える。
　（α＜０の場合は、図を考えれば明らかに、求める範囲は、α＞０の場合の範囲を原点を中心に
点対称に移動したものになる。）

 さてα＞０なら相加相乗平均より、
9α＋ｘ^2／α≧２√（9α・ｘ^2／α）＝６｜x｜で、
等号はα＝（1/3）|ｘ|で成立する。
　そして、9α＋ｘ^2／αは、α＞０の範囲で連続であり、
α→∞の時　9α＋ｘ^2／α→無限大となることは明らか。

よって、9α＋ｘ^2／αは、６｜x｜以上の任意の値を取りうる。

　これより
　ｘ≧０の時
y≧（1/4）・６x－x/2で、つまりy≧ｘ

　x＜０の時
y≧（1/4）(-6x)－x/2で、つまりy≧-2ｘ

α＜０の場合も合わせて考えれば結局、求める範囲は

　　直線ｙ＝ｘの上側でかつ、直線ｙ＝-2ｘの上側である部分
及び直線ｙ＝ｘの下側でかつ、直線ｙ＝-2ｘの下側である部分
（境界線上の点は、原点を除いて全て含む。）

となる。

（すみませんが、図は描けません。）