質問<3840>2012/12/29
その頂点が直線y=2x上にあり、直線y=-2xに接しながら移動する放物線y=ax^2+bx+cがある (1)頂点のx座標αを用いて、この放物線の方程式を書き直せ (2)この放物線が通りうる範囲を図示せよ 先生にあてられて困ってます助けてください ★希望★完全解答★
お便り2013/1/8
from=平 昭
こんばんは。(2)が本題ですが、ちょっと面倒ですね。こういう時は「αを動かしたら、 xやyはどう変わるか」を考えてみる必要があります。では、解答です。 (1)放物線の頂点のx座標をαとすると、頂点はy=2x上にあるから、頂点のy座標は2α。 よって、放物線の方程式は、2次の係数がaであるから y=a(x-α)^2+2α と表せる。 これが直線 y=-2xに接するので 方程式 a(x-α)^2+2α=-2x は重解を持つ。この時、判別式=0より a=1/4αとなる。 (なお、α=0の場合、放物線は、頂点である原点で直線 y=-2xと交わるため、 aの値によらず重解を持たないことは明らかである。) よって、求める放物線の方程式は y=(1/4α)(x-α)^2+2α と表せる。 (2) y=(1/4α)(x-α)^2+2αにおいて、 xを一つ固定し、αを変化させた場合、(←これがポイントです。) yがどのような値を取り得るかを考える。なお、αは0でないとする。 αに着目して式を書き直すと y=(1/4)(9α+x^2/α)-x/2 ここでまず、α>0の場合を考える。 (α<0の場合は、図を考えれば明らかに、求める範囲は、α>0の場合の範囲を原点を中心に 点対称に移動したものになる。) さてα>0なら相加相乗平均より、 9α+x^2/α≧2√(9α・x^2/α)=6|x|で、 等号はα=(1/3)|x|で成立する。 そして、9α+x^2/αは、α>0の範囲で連続であり、 α→∞の時 9α+x^2/α→無限大となることは明らか。 よって、9α+x^2/αは、6|x|以上の任意の値を取りうる。 これより x≧0の時 y≧(1/4)・6x-x/2で、つまりy≧x x<0の時 y≧(1/4)(-6x)-x/2で、つまりy≧-2x α<0の場合も合わせて考えれば結局、求める範囲は 直線y=xの上側でかつ、直線y=-2xの上側である部分 及び直線y=xの下側でかつ、直線y=-2xの下側である部分 (境界線上の点は、原点を除いて全て含む。) となる。 (すみませんが、図は描けません。)