質問<3852>2013/5/7
Xが実数全体を動くときΣ[k=1→99]|x-k|の最小値を求めよ。 という問題です。 解答を見ても、途中からよく分かりません。御手数ですが、宜しく御指導下さい。 ★希望★完全解答★
お便り2013/5/9
from=wakky
Xが実数全体を動くときΣ[k=1→99]|x-k|の最小値を求めよ。 両端から攻めていくと分かりやすいでしょう・・・ |x-1|+|x-99|の最小値を考えます。 x<1では |x-1|+|x-99|=-x+1-x+99=-2x+100>98 1≦x≦99では |x-1|+|x-99|=x-1-x+99=98 x>99では |x-1|+|x-99|=x-1+x-99=2x-100>98 したがって 1≦x≦99のとき最小値98 次に |x-2|+|x-98|について考えます x<2では |x-2|+|x-98|=-x+2-x+98=-2x+100>96 2≦x≦98では |x-2|+|x-98|=x-2-x+98=96 x>98では |x-2|+|x-98|=x-2+x-98=2x-100>96 したがって 2≦x≦98のとき最小値96 1<2≦x≦98<99なので |x-1|+|x-2|+|x-98|+|x-99|は 2≦x≦98のとき最小値98+96=194 であることがわかりました これを繰り返していくと |x-1|+…+|x-49|+|x-51|+…+|x-99|は 49≦x≦51のとき最小値98+96+…+2=2450 |x-50|の最小値はx=50のとき0なので 求める最小値は 49≦x≦51のとき最小値2450・・・(答)
お便り2013/5/10
from=平 昭
こんばんは。50歳で青チャートをなさるとはすばらしい。大学入学に向け、一念発起 なさったのでしょうか。 さて、この問題はいわば、Σの使い方に慣れる問題です。 嫌がらずにΣ記号を使い、一つずつ場合分けをして絶対値を外してみましょう。それが できれば、後は簡単です。 まず、x≦1の時 1≦k≦99に対して|x-k|=k-xですから Σ[k=1→99]|x-k| =Σ[k=1→99](k-x) =Σ[k=1→99](k) - Σ[k=1→99](x) =-99x+4950 これは明らかにx=1で最小となり、最小値は4851 次に x≧99の時 1≦k≦99に対して|x-k|=x-kですから Σ[k=1→99]|x-k| =Σ[k=1→99](x)-Σ[k=1→99](k) =99x-4950 これはx=99で最小となり、最小値は4851 ※ さて、xが1から99までの間にある場合が問題で、そこを1刻みで場合分けします。 最後に、n≦x≦n+1 (nは1以上98以下の整数)の時 Σ[k=1→99]|x-k| =Σ[k=1→n]|x-k| + Σ[k=(n+1)→99]|x-k| =Σ[k=1→n](x-k) + Σ[k=(n+1)→99](k-x) =nx-Σ[k=1→n](k) -(99-n)x+(Σ[k=1→99](k)-Σ[k=1→n](k)) =(2n-99)x -n(n+1) +4950 と書けます。ここでさらにxの係数の正負で場合分けして、 2n-99≧0、つまりn≧50の時、 n≦x≦n+1に注意すれば、 (2n-99)x+4950-n(n+1)は x=n で最小となり、 その最小値はn(n-100)+4950 さらにnも変化させれば、 これはn=50で最小となって、最小値は4950-2500=2450 なお、この時x=n=50である。 一方、2n-99≦0、つまりn≦49の時、 同様に、n≦x≦n+1に注意すれば (2n-99)x+4950-n(n+1)はx=n+1で最小となり、 最小値は(n-99)(n+1)+4950である。 nも変化させれば、この式はn=49で最小値2450を取る。 この時、x=n+1=50である。 まとめると、 題意の式はx=50で最小値2450を取る。 なお、wakkyさんの解答は、最後が間違っています。 「49≦x≦51のとき」でなく「x=50のとき」ですね。
お便り2013/5/13
from=今年50歳!
wakky先生、平 昭先生、解答を頂き誠にありがとうございました。 とても分かりやすく御指導して頂き感激いたしております。 今後、また質問させていただきますので宜しくお願いいたします。