質問＜３８５２＞２０１３／５／７
from=今年５０歳！
「かなり昔の青チャートのΣ計算」

　Xが実数全体を動くときΣ[k=1→99]｜x-k｜の最小値を求めよ。
　という問題です。
　解答を見ても、途中からよく分かりません。御手数ですが、宜しく御指導下さい。

★希望★完全解答★

お便り２０１３／５／９
from=wakky

Xが実数全体を動くときΣ[k=1→99]｜x-k｜の最小値を求めよ。

両端から攻めていくと分かりやすいでしょう・・・

|x-1|+|x-99|の最小値を考えます。
x＜1では
|x-1|+|x-99|=-x+1-x+99=-2x+100＞98
1≦x≦99では
|x-1|+|x-99|=x-1-x+99=98
x＞99では
|x-1|+|x-99|=x-1+x-99=2x-100>98
したがって
1≦x≦99のとき最小値98
次に
|x-2|+|x-98|について考えます
x＜2では
|x-2|+|x-98|=-x+2-x+98=-2x+100＞96
2≦x≦98では
|x-2|+|x-98|=x-2-x+98=96
x＞98では
|x-2|+|x-98|=x-2+x-98=2x-100＞96
したがって
2≦x≦98のとき最小値96
1＜2≦x≦98＜99なので
|x-1|+|x-2|+|x-98|+|x-99|は
2≦x≦98のとき最小値98+96=194
であることがわかりました
これを繰り返していくと
|x-1|+…+|x-49|+|x-51|+…+|x-99|は
49≦x≦51のとき最小値98+96+…+2=2450
|x-50|の最小値はx=50のとき0なので
求める最小値は
49≦x≦51のとき最小値2450・・・（答）

お便り２０１３／５／１０
from=平　昭

　こんばんは。５０歳で青チャートをなさるとはすばらしい。大学入学に向け、一念発起
なさったのでしょうか。
　さて、この問題はいわば、Σの使い方に慣れる問題です。
　嫌がらずにΣ記号を使い、一つずつ場合分けをして絶対値を外してみましょう。それが
できれば、後は簡単です。


　まず、ｘ≦１の時
　１≦ｋ≦99に対して｜x-k｜＝ｋ－ｘですから
　Σ[k=1→99]｜x-k｜
＝Σ[k=1→99]（k-x）
＝Σ[k=1→99]（k）　－　Σ[k=1→99]（ｘ）
＝-99ｘ＋4950
　これは明らかにｘ＝１で最小となり、最小値は４８５１

次に　ｘ≧99の時
　１≦ｋ≦99に対して｜x-k｜＝ｘ－ｋですから
　Σ[k=1→99]｜x-k｜
＝Σ[k=1→99]（ｘ）－Σ[k=1→99]（k）
＝99ｘ－4950

　これはｘ＝99で最小となり、最小値は４８５１

※　さて、ｘが１から９９までの間にある場合が問題で、そこを１刻みで場合分けします。

最後に、ｎ≦ｘ≦ｎ＋１　（ｎは１以上98以下の整数）の時

　Σ[k=1→99]｜x-k｜
＝Σ[k=1→ｎ]｜x-k｜　＋　Σ[k=（ｎ＋１）→99]｜x-k｜
＝Σ[k=1→ｎ]（x-k）　＋　Σ[k=（ｎ＋１）→99]（k-x）
＝ｎｘ－Σ[k=1→ｎ]（ｋ）
　－（99－n）ｘ＋（Σ[k=１→99]（ｋ）－Σ[k=1→ｎ]（ｋ））
＝（2n-99）ｘ　－ｎ（ｎ＋１）　＋4950

　と書けます。ここでさらにｘの係数の正負で場合分けして、

　2n-99≧０、つまりｎ≧50の時、
ｎ≦ｘ≦ｎ＋１に注意すれば、
（2n-99）ｘ＋4950－ｎ（ｎ＋１）は　ｘ＝ｎ　で最小となり、
その最小値はｎ（n-100）＋4950
　さらにｎも変化させれば、
これはｎ＝50で最小となって、最小値は4950-2500＝2450　
なお、この時ｘ＝ｎ＝50である。

　一方、2n-99≦０、つまりｎ≦49の時、
同様に、ｎ≦ｘ≦ｎ＋１に注意すれば

（2n-99）ｘ＋4950－ｎ（ｎ＋１）はｘ＝ｎ＋１で最小となり、
最小値は（ｎ-99）(n+1)＋４９５０である。
　ｎも変化させれば、この式はｎ＝４９で最小値2450を取る。
　この時、ｘ＝n+1＝50である。

まとめると、
　題意の式はｘ＝50で最小値2450を取る。

　なお、wakkyさんの解答は、最後が間違っています。
「49≦x≦51のとき」でなく「ｘ＝50のとき」ですね。

お便り２０１３／５／１３
from=今年５０歳！

wakky先生、平 昭先生、解答を頂き誠にありがとうございました。
とても分かりやすく御指導して頂き感激いたしております。
今後、また質問させていただきますので宜しくお願いいたします。