質問<3854>2013/6/27
∫_c (x*y^2)dy-(x^2*y)dx cは原点を中心とする半径aの円 という問題の答えは(π/2)a^4 であるらしいのですが、 途中の計算がどうもうまくいきません。 変換のヤコビアンを使ったりするのでしょうか。 グリーンの定理を用いて解けとのことです。 どうぞよろしくお願いいたします。 ★希望★完全解答★
お便り2013/6/27
from=m.m.
今、∫∫(x^2+y^2)dydx=∫{∫_(-√(a^2-y^2)~(√(a^2-y^2)) (x^2+y^2)dx}dy =∫_(-a~a)(2√(a^2-y^2)(y^2+(a^2-y^2)/3)dy ここでy=a(sinθ)とおくと 与式は 2((a^2)/3+(2/3)a^2*sin^2θ)a^2*cos^2θdθ =[(2/3)a^4(1+cos2θ)/2+(4/3)(1-cos2θ)*(1+cos2θ)/4]_(0~2Π) ...というふうにやったらなんとかたどりつきましたが、 もう少し賢い計算の仕方があればぜひお教えください。
お便り2013/6/28
from=豆
グリーンの定理より与式は ∫∫(x^2+y^2)dxdy となり、 極座標変換にて dxdy=rdrdθ r:0→a θ:0→2π で積分すれば =∫∫r^2・rdrdθ =(a^4/4)・2π
お便り2013/7/1
from=m.m.
豆先生早速にもご回答有難うございました。 感謝いたしております。