質問＜３８５４＞２０１３／６／２７
from=m.m.
「グリーンの定理を用いた積分」

∫_c (x*y^2)dy-(x^2*y)dx　　cは原点を中心とする半径aの円
という問題の答えは(π/2)a^4　であるらしいのですが、
途中の計算がどうもうまくいきません。
変換のヤコビアンを使ったりするのでしょうか。
グリーンの定理を用いて解けとのことです。
どうぞよろしくお願いいたします。

★希望★完全解答★

お便り２０１３／６／２７
from=m.m.

今、∫∫(x^2+y^2)dydx=∫{∫_(-√(a^2-y^2)～(√(a^2-y^2)) (x^2+y^2)dx}dy
=∫_(-a～a)(2√(a^2-y^2)(y^2+(a^2-y^2)/3)dy 
ここでy=a(sinθ）とおくと 与式は
2（（a^2）/3+(2/3)a^2*sin^2θ）a^2*cos^2θdθ
＝[(2/3)a^4(1+cos2θ)/2+(4/3)(1-cos2θ)*(1+cos2θ)/4]_(0～2Π)
...というふうにやったらなんとかたどりつきましたが、
もう少し賢い計算の仕方があればぜひお教えください。

お便り２０１３／６／２８
from=豆

グリーンの定理より与式は
∫∫(x^2+y^2)dxdy　となり、
極座標変換にて　dxdy=rdrdθ
r：0→a　θ：0→2π　で積分すれば
=∫∫r^2・rdrdθ
=(a^4/4)・2π

お便り２０１３／７／１
from=m.m.

豆先生早速にもご回答有難うございました。
感謝いたしております。