質問＜３９９＞２００１／１／２８
from=ＮＮＮ
「２次曲線」

武田先生こんばんわ。
2次曲線で下記の問題がわからないので質問おねがいします

２次曲線ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0がある。(a,b,c,d,e,fは実数)
これを原点中心にθだけ回転させると、全体を
kx^2+ly^2+mx+ny=1の形に直すことができる。
このθの満たすべき条件をa,b,c,d,e,fを用ゐて表せ。
（用ゐなくても良い）

お返事２００１／１／２９
from=武田

質問＜１５１＞のところで紹介した内容をまとめると、

もとの曲線F(x,y)＝０が原点の回りのθ回転してできた曲線の方程式が
F(xcosθ＋ysinθ ,－xsinθ＋ycosθ)＝０となる。

したがって、質問の方程式ax2 +bxy+cy2 +dx+ey+f=0に当てはめると、
a(xcosθ＋ysinθ)2 +b(xcosθ＋ysinθ)(－xsinθ＋ycosθ)
　　　+c(－xsinθ＋ycosθ)2 +d(xcosθ＋ysinθ)+e(－xsinθ＋ycosθ)+f=0
(acos2 θ-bsinθcosθ+csin2 θ)x2 +(2acosθsinθ+bcos2 θ-bsin2 θ-2csinθcosθ)xy
　　　+(asin2 θ+bsinθcosθ+ccos2 θ)y2 +(dcosθ-esinθ)x+(dsinθ+ecosθ)y+f=0

kx2 +ly2 +mx+ny=1の形に直すので、
xyの項がないので、上の式でxyの係数を０とすると、
(2acosθsinθ+bcos2 θ-bsin2 θ-2csinθcosθ)＝０
(a-c)2sinθcosθ＋b(cos2 θ－sin2 θ)＝０
（ａ－ｃ）sin２θ＋ｂcos２θ＝０
sin２θ　　　ｂ　　　　　　　　　ｂ
────＝────　∴tan２θ＝───　……（答）
cos２θ　　ｃ－ａ　　　　　　　ｃ－ａ

さらに、右辺が１だから、ｆ＝－１も必要であろう。