質問＜４０８＞２００１／２／１３
from=ぷりん
「漸化式について」

こんばんは。ぷりんです。早速ですが漸化式の質問をさせてください。

Ｑ，次のように定められた数列｛Ａｎ｝の一般項を求めよ。

　　Ａ１＝１・Ａｎ＝２Ａ（ｎ－１）＋３（n-1乗）　　（ｎ≧２）

３のｎ乗で割る方法（Ａｎ＝３【ｎ乗】－２【ｎ乗】）は分かったのですが，
２のｎ乗で割る方法で解くと答えが違ってしまいます。
２のｎ乗で割る方法で解いてください。宜しくお願いします。

お返事２００１／２／１４
from=武田

ａn ＝２ａn-1 ＋３n-1 ……①
質問＜３９５＞の「特性方程式」のところで紹介した定数係数の漸化式
（線型差分方程式）にした方が解きやすいので、式①の指数３n-1 を
消すように変形すると良い。

（解法１）
①の両辺を３n で割ると、
ａn 　２　　ａn-1 　１
──＝─・───＋─
３n 　３　　３n-1 　３

ａn 
──＝ｂn とおくと、
３n 

　　　２　　　　１
ｂn ＝─・ｂn-1 ＋─
　　　３　　　　３

したがって、
　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　─
　　　　　２　　　　３　　　　　２
ｂn ＝Ｃ（─）n ＋────＝Ｃ（─）n ＋１
　　　　　３　　　　　２　　　　３
　　　　　　　　　１－─
　　　　　　　　　　　３
　　　ａ1 　１
ｂ1 ＝──＝─　より
　　　３1 　３

１　　　２
─＝Ｃ（─）1 ＋１
３　　　３

∴Ｃ＝－１

したがって、
　　　　　２
ｂn ＝－（─）n ＋１
　　　　　３

ａn 　　　２
──＝－（─）n ＋１
３n 　　　３

∴ａn ＝－２n ＋３n ……（答）

（解法２）
質問の式①を２n で両辺を割る方法でやってみると、
ａn 　２　　ａn-1 　３n-1 
──＝─・───＋─
２n 　２　　２n-1 　２n 

ａn 
──＝ｂn とおくと、
２n 

　　　　　　１　　３
ｂn ＝ｂn-1 ＋─・（─）n-1 
　　　　　　２　　２

　　　　　　１　　３
ｂn －ｂn-1 ＝─・（─）n-1 
　　　　　　２　　２
ｎに２からｎまで代入して、上から下まで全部加えると、
　　　　　１　　３　　３　　　３　　　　　　　３
ｂn －ｂ1 ＝─｛─＋（─）2 ＋（─）3 ＋……＋（─）n-1 ｝
　　　　　２　　２　　２　　　２　　　　　　　２

　　　　　　　　３　　　３
　　　　　　　　─・｛（─）n-1 －１｝
　　　　　　１　２　　　２
ｂn ＝ｂ1 ＋─・───────────
　　　　　　２　　　　３
　　　　　　　　　　　─－１
　　　　　　　　　　　２

　　　ａ1 　　３　　　３
ｂn ＝──＋（─）n －─
　　　２1 　　２　　　２

　　　　３
　　＝（─）n －１
　　　　２

ａn 
──＝ｂn より、
２n 

∴ａn ＝３n －２n ……（答）

※したがって、どちらの解法でも同じ答えになりました。