質問<408>2001/2/13
こんばんは。ぷりんです。早速ですが漸化式の質問をさせてください。 Q,次のように定められた数列{An}の一般項を求めよ。 A1=1・An=2A(n-1)+3(n-1乗) (n≧2) 3のn乗で割る方法(An=3【n乗】-2【n乗】)は分かったのですが, 2のn乗で割る方法で解くと答えが違ってしまいます。 2のn乗で割る方法で解いてください。宜しくお願いします。
お返事2001/2/14
from=武田
an =2an-1 +3n-1 ……① 質問<395>の「特性方程式」のところで紹介した定数係数の漸化式 (線型差分方程式)にした方が解きやすいので、式①の指数3n-1 を 消すように変形すると良い。 (解法1) ①の両辺を3n で割ると、 an 2 an-1 1 ──=─・───+─ 3n 3 3n-1 3 an ──=bn とおくと、 3n 2 1 bn =─・bn-1 +─ 3 3 したがって、 1 ─ 2 3 2 bn =C(─)n +────=C(─)n +1 3 2 3 1-─ 3 a1 1 b1 =──=─ より 31 3 1 2 ─=C(─)1 +1 3 3 ∴C=-1 したがって、 2 bn =-(─)n +1 3 an 2 ──=-(─)n +1 3n 3 ∴an =-2n +3n ……(答) (解法2) 質問の式①を2n で両辺を割る方法でやってみると、 an 2 an-1 3n-1 ──=─・───+─ 2n 2 2n-1 2n an ──=bn とおくと、 2n 1 3 bn =bn-1 +─・(─)n-1 2 2 1 3 bn -bn-1 =─・(─)n-1 2 2 nに2からnまで代入して、上から下まで全部加えると、 1 3 3 3 3 bn -b1 =─{─+(─)2 +(─)3 +……+(─)n-1 } 2 2 2 2 2 3 3 ─・{(─)n-1 -1} 1 2 2 bn =b1 +─・─────────── 2 3 ─-1 2 a1 3 3 bn =──+(─)n -─ 21 2 2 3 =(─)n -1 2 an ──=bn より、 2n ∴an =3n -2n ……(答) ※したがって、どちらの解法でも同じ答えになりました。