質問＜４０９＞２００１／２／１６
from=瀬能結城
「数列の一般項」

宿題なのですが、持っている参考書にも類題が載っていなくて、
さっぱりわかりません。よろしくお願いします。

１．次の条件で求められる数列{ａn}の一般項を求めよ。
①ａ1＝１　(n+1)×ａn+1=n×an
②a1=1　　n×ａn+1=(n+1)×an
 （ａn+1は数列{an}の項数がn+1ということです）

２．数列{an}において、初項から第n項までの和SnがSn=n-anで与
えられる時、a1,a2,a3および、{an}の一般項を求めよ。

お返事２００１／２／１６
from=武田

問１①
（ｎ＋１）ａn+1 －ｎａn ＝０に１からｎまで代入して、
上から下まで全部足すと、
　　２ａ2 －１ａ1 ＝０
　　３ａ3 －２ａ2 ＝０
　　４ａ4 －３ａ3 ＝０
　　　　　　　　　……
＋）（ｎ＋１）ａn+1 －ｎａn ＝０
──────────────────
　　（ｎ＋１）ａn+1 －１ａ1 ＝０
したがって、
（ｎ＋１）ａn+1 ＝ａ1 ＝１

　　　　　１
ａn+1 ＝───
　　　　ｎ＋１

　　　　１
∴ａn ＝─　……（答）
　　　　ｎ

問１②
ｎａn+1 ＝（ｎ＋１）ａn を変形して、
　　　　ｎ＋１
ａn+1 ＝───ａn より、
　　　　　ｎ

　　　　ｎ＋１　　ｎ　　ｎ－１　　　　２
ａn+1 ＝───・───・───・……・─ａ1 ＝（ｎ＋１）・１＝ｎ＋１　　　　　ｎ　　ｎ－１　ｎ－２　　　　１

∴ａn ＝ｎ　……（答）

問２
ａn ＝Ｓn －Ｓn-1 
　　＝（ｎ－ａn ）－（ｎ－１－ａn-1 ）
　　＝１－ａn ＋ａn-1 より、
２ａn ＝ａn-1 ＋１

　　　１　　　１
ａn ＝─ａn-1 ＋─
　　　２　　　２
したがって、

公式　ａn ＝ｐ・ａn-1 ＋ｑのとき

　　　　　　　　　　　　　　ｑ

　　　ａn ＝Ｃ（ｐ）n ＋───

　　　　　　　　　　　　　１－ｐ

より、
　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　─
　　　　　１　　　　２　　　　１
ａn ＝Ｃ（─）n ＋────＝Ｃ（─）n ＋１
　　　　　２　　　　　１　　　２
　　　　　　　　　１－─
　　　　　　　　　　　２

ａ1 ＝Ｓ1 ＝１－ａ1 より、
２ａ1 ＝１
　　　１
ａ1 ＝─より、
　　　２

　　　　　１　　　　　１
ａ1 ＝Ｃ（─）1 ＋１＝─
　　　　　２　　　　　２

∴Ｃ＝－１

したがって、
　　　　　１
ａn ＝－（─）n ＋１　……（答）
　　　　　２