質問<421>2001/3/15
2つの連続関数f(x),g(x)がつぎの等式をみたしているとき f(x),g(x)を求めよ x 1 f(x)=e+∫{f(t)+g(t)}dt 0 x 1 g(x)=xe+∫{f(t)-g(t)}dt 0 よろしくおねがいします
お返事2001/3/16
from=武田
定積分は数値になるから、 1 1 ∫f(t)dt=I、 ∫g(t)dt=Jとおくと、 0 0 1 f(x)=ex +∫{f(t)+g(t)}dt 0 1 1 =ex +∫f(t)dt+∫g(t)dt 0 0 =ex+I+J……① 1 g(x)=xex +∫{f(t)-g(t)}dt 0 1 1 =xex +∫f(t)dt-∫g(t)dt 0 0 =xex+I-J……② ①より、 1 1 I=∫f(t)dt=∫(et+I+J)dt 0 0 1 =[et +It+Jt]=e+I+J-1 0 したがって、 J=1-e……③ ②より、 1 1 J=∫g(t)dt=∫(tet+I-J)dt 0 0 1 =[tet -et +It-Jt]=e-e+I-J+1 0 =I-J+1 したがって、 2J=I+1……④ ③④より、 2(1-e)=I+1 ∴I=2-2e-1 =1-2e……⑤ したがって、③⑤より、 f(x)=ex+(1-2e)+(1-e) =ex+2-3e……(答) g(x)=xex+(1-2e)-(1-e) =xex-e……(答)