質問＜４２１＞２００１／３／１５
from=ＫＯＵ
「積分」

２つの連続関数f(x),g(x)がつぎの等式をみたしているとき
f(x),g(x)を求めよ

　　　x  1 
f(x)=e＋∫{f(t)+g(t)}dt
         0

        x  1
g(x)=ｘe＋∫{f(t)-g(t)}dt
           0

よろしくおねがいします

お返事２００１／３／１６
from=武田

定積分は数値になるから、
１　　　　　　　　　　１
∫ｆ（ｔ）ｄｔ＝Ｉ、　∫ｇ（ｔ）ｄｔ＝Ｊとおくと、
０　　　　　　　　　　０

　　　　　　　　１
ｆ（ｘ）＝ｅx ＋∫｛ｆ（ｔ）＋ｇ（ｔ）｝ｄｔ
　　　　　　　　０

　　　　　　　　１　　　　　　　１
　　　　＝ｅx ＋∫ｆ（ｔ）ｄｔ＋∫ｇ（ｔ）ｄｔ
　　　　　　　　０　　　　　　　０

　　　　＝ｅx＋Ｉ＋Ｊ……①

　　　　　　　　　１
ｇ（ｘ）＝ｘｅx ＋∫｛ｆ（ｔ）－ｇ（ｔ）｝ｄｔ
　　　　　　　　　０

　　　　　　　　　１　　　　　　　１
　　　　＝ｘｅx ＋∫ｆ（ｔ）ｄｔ－∫ｇ（ｔ）ｄｔ
　　　　　　　　　０　　　　　　　０

　　　　＝ｘｅx＋Ｉ－Ｊ……②

①より、
　　１　　　　　　　１
Ｉ＝∫ｆ（ｔ）ｄｔ＝∫（ｅt＋Ｉ＋Ｊ）ｄｔ
　　０　　　　　　　０

　　　　　　　　　　　１
　＝［ｅt ＋Ｉｔ＋Ｊｔ］＝ｅ＋Ｉ＋Ｊ－１
　　　　　　　　　　　０
したがって、
Ｊ＝１－ｅ……③

②より、
　　１　　　　　　　１
Ｊ＝∫ｇ（ｔ）ｄｔ＝∫（ｔｅt＋Ｉ－Ｊ）ｄｔ
　　０　　　　　　　０

　　　　　　　　　　　　　　　１
　＝［ｔｅt －ｅt ＋Ｉｔ－Ｊｔ］＝ｅ－ｅ＋Ｉ－Ｊ＋１
　　　　　　　　　　　　　　　０

　＝Ｉ－Ｊ＋１
したがって、
２Ｊ＝Ｉ＋１……④

③④より、
２（１－ｅ）＝Ｉ＋１
∴Ｉ＝２－２ｅ－１
　　＝１－２ｅ……⑤

したがって、③⑤より、
ｆ（ｘ）＝ｅx＋（１－２ｅ）＋（１－ｅ）
　　　　＝ｅx＋２－３ｅ……（答）
ｇ（ｘ）＝ｘｅx＋（１－２ｅ）－（１－ｅ）
　　　　＝ｘｅx－ｅ……（答）